扩展欧几里得算法
来源:互联网 发布:电脑编程哪儿工资高 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 04:10
扩展欧几里得算法
方程如下:
ax + by = gcd(a,b)(类似这样的方程)
现在我们假设 a > b,接下来就要有两种情况
1) 那么当b == 0的时候gcd(a,b)=a;
那么我们现在要解的这个方程就是
ax=a
==> x = 1, y = 0;
2)当b!=0的时候,我们可以设:
ax1+by1=gcd(a,b)
bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)‚
又因为:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
由‚所以我们可以得到:==>ax1+by1=bx2+(a%b)y2
那么现在a%b又可以写成a-floor(a/b)*b ---[这里面floor()是向下取整的意思]
==>ax1+by1=bx2+[a-floor(a/b)*b]*y2
==>x1*a+y1*b=y2*a+[x2-floor(a/b)*y2]*b
我们现在让系数相等也就是a和b当作未知数
==> x1 = y2
==> y1 = x2-floor(a/b)*y2
那么我们就得到了扩展欧几里得的递归算法
方程a*x+b*y=c
有解的情况是:c mod gcd(a,b)==0
扩展欧几里得(Exgcd模板):
void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){ if(b == 0)//递归出口 { x = 1; y = 0; return; } int x1, y1; Ex_gcd(b, a%b, x1, y1); x = y1; y = x1-(a/b)*y1;}
当然要先判断有没有解哦,有解的情况是:c mod gcd(a,b)==0
例如求解6x+2y=6,
首先判断是否有解;
然后运行上面的代码,结果是x=0,y=1;
此结果为6x+2y=gcd(6,2)的解。
所以结果为x=0*3,y=1*3;(其中3为6/gcd(6,2))
好了!
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