数据结构----主席树

这两天一直在看各种树~划分树，左偏树，主席树，伸展树~~~好乱~~

一听到主席树这个名字的时候感觉好奇怪，为什么会叫主席树，感觉好难好高大上，所以一直敬而远之，，，，，主席树是一个大牛的拼音缩写HJT（hu jingtao），额~~大牛就是厉害！！！

昨晚上bili发现了一个主席树视频，突然感觉好开心，终于有教程了，哈哈哈~~~发现up主还上传了其他 的算法教程，，，，于是叫注册了bili账号还百度通过了正式会员~~

哈哈~~本来以为b站考试很难，，的确很难（因为之前听朋友说她好艰难才通过、的），但是有百度这种东西~~今天看了up主关于主席树的讲解，虽然明白主席树的什么，但是要手动实现就不会了，看了up的代码好久才渐渐明白，up主的代码好短而已，但是技巧之类的好多，特别是到递归，我觉得递归真的好恶心，因为很难捕捉一下就跳到哪里去了，特别是带返回值的。。。。。后来又看了kuangbin的代码，自己又写了一遍，但是Kuangbin的不是递归写的，而我改成了递归的，不知为什么感觉有点成就感，哈哈~至少对代码的理解又加深了一点点。，，好怕过两天就忘的一干二净了，。。

进入正题：

up主连接：主席树       （一开始是通过up的视频学的）

下面是摘抄其他人的：

主席树的主体是线段树，准确的说，是很多棵线段树，存的是一段数字区间出现次数（所以要先离散化可能出现的数字）。举个例子，假设我每次都要求整个序列内的第 k 小，那么对整个序列构造一个线段树，然后在线段树上不断找第 k 小在当前数字区间的左半部分还是右半部分。这个操作和平衡树的 Rank 操作一样，只是这里将离散的数字搞成了连续的数字。

先假设没有修改操作：

对于每个前缀 S1…i，保存这样一个线段树 Ti，组成主席树。这样不是会 MLE 么？最后再讲。

注意，这个线段树对一条线段，保存的是这个数字区间的出现次数，所以是可以互相加减的！还有，由于每棵线段树都要保存同样的数字，所以它们的大小、形态也都是一样的！这实在是两个非常好的性质，是平衡树所不具备的。

对于询问 (i,j)，我只要拿出 Tj 和 Ti-1，对每个节点相减就可以了。说的通俗一点，询问 i..j 区间中，一个数字区间的出现次数时，就是这些数字在 Tj 中出现的次数减去在 Ti-1 中出现的次数。

那么有修改操作怎么办呢？

如果将询问看成求一段序列的数字和，那么上面那个相当于求出了前缀和。加入修改操作后，就要用树状数组等来维护前缀和了。于是那个 “很好的性质” 又一次发挥了作用，由于主席树可以互相加减，所以可以用树状数组来套上它。做法和维护前缀和长得基本一样，不说了。

这段指出了主席树的主要性质。。

• 线段树的每个结点，保存的是这个区间含有的数字的个数。
• 主席树的每个结点，也就是每颗线段树的大小和形态也是一样的，也就是主席树之间可以相互进行加减运算。。

同时我们也枚举一下主席树的一些局限：

• 主席树是一种离线结构。。（必须预先知道所有数字的范围。。这在一些应用中会成为障碍。。。
• 存在 MLE 问题。。（如果按照定义里面的方法去写，对每个结点都需要开一整可线段树，至少都是 O(n2) 级别的空间。。

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开始填坑。由于每棵线段树的大小形态都是一样的，而且初始值全都是 0，那每个线段树都初始化不是太浪费了？所以一开始只要建一棵空树即可。

然后是在某棵树上修改一个数字，由于和其他树相关联，所以不能在原来的树上改，必须弄个新的出来。难道要弄一棵新树？不是的，由于一个数字的更改只影响了一条从这个叶子节点到根的路径，所以只要只有这条路径是新的，另外都没有改变。比如对于某个节点，要往右边走，那么左边那些就不用新建，只要用个指针链到原树的此节点左边就可以了，这个步骤的前提也是线段树的形态一样。

假设s是数字个数，这个步骤的空间复杂度显然是 O(logs)。用树状数组去套它，共有 2logn 棵树被修改，m 个操作再加上一开始的空树和 n 个数字，总共就是 O((n+m)lognlogs)。Fotile 大神说如果加上垃圾回收的话，可以去掉一个 log…… ym

poj 2104 k-th number

这题也可以用划分树（见上一篇）

代码1：up主  代码2： kuangbin修改版     代码3：kuangbin

版本1

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <queue>#include <cmath>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn=1e5+6;int n,m,cnt=0,root[maxn],a[maxn],x,y,k;struct node{int l,r,sum;}T[maxn*40];vector<int>v;int getid(int x)  {return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;}void update(int l,int r,int &x,int y,int pos){T[++cnt]=T[y],T[cnt].sum++,x=cnt;if(l==r) return ;int mid=(l+r)/2;if(mid>=pos) update(l,mid,T[x].l,T[y].l,pos);else update(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,pos);}int query(int l,int r,int x,int y,int k){if(l==r) return l;int mid=(l+r)/2;int sum=T[T[y].l].sum-T[T[x].l].sum;if(sum>=k) return query(l,mid,T[x].l,T[y].l,k);else return query(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,k-sum);}int main() {    #ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt","r",stdin);#endifscanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),v.push_back(a[i]);sort(v.begin(),v.end());/*unique只是把重复的元素放到容器的后面，而它本身会返回一个迭代器，只向这些元素的开始部分。因此要向真正删除这些元素，还是要“手工”处理一下。可以用vector的erase*/v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());       //去重for(int i=1;i<=n;i++) update(1,n,root[i],root[i-1],getid(a[i]));//for(int i=0;i<=n;i++) cout<<root[i]<<" ";for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);printf("%d\n",v[query(1,n,root[x-1],root[y],k)-1]);} }                        

版本2

#include<cstdio>#include<iostream>#include <algorithm>#include <map>#include <cmath>using namespace std;const int maxn=1e5+10;const int N=maxn*30;int n,q,m,tot;int a[maxn],t[maxn];int T[N],ls[N],rs[N],c[N];void init(){for(int i=1;i<=n;i++)t[i]=a[i];sort(t+1,t+n+1);/*在STL中unique函数是一个去重函数， unique的功能是去除相邻的重复元素(只保留一个),其实它并不真正把重复的元素删除，是把重复的元素移到后面去了，然后依然保存到了原数组中，然后 返回去重后最后一个元素的地址,去重后最后一个元素的下一个地址 因为unique去除的是相邻的重复元素，所以一般用之前都会要排一下序。*/m=unique(t+1,t+n+1)-t-1;}int build(int l,int r){int root=tot++;c[root]=0;if(l!=r){int mid=(l+r)/2;ls[root]=build(l,mid);rs[root]=build(mid+1,r);}return root;}int hash(int x){return lower_bound(t+1,t+1+m,x)-t;   //返回下标 } int update(int root,int pos,int val,int l,int r){int newroot=tot++,tmp=newroot;c[newroot]=c[root]+val;if(l==r) return 1;int mid=(l+r)/2;if(pos<=mid){ls[newroot]=tot;rs[newroot]=rs[root];update(ls[root],pos,val,l,mid);}else{rs[newroot]=tot;ls[newroot]=ls[root];update(rs[root],pos,val,mid+1,r);}return tmp;} int query(int l,int r,int x,int y,int k){int mid=(l+r)/2;if(l==r) return l;int sum=c[ls[y]]-c[ls[x]];if(sum>=k){query(l,mid,ls[x],ls[y],k);}elsequery(mid+1,r,rs[x],rs[y],k-sum);}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGE    freopen("in.txt","r",stdin);#endif    scanf("%d%d",&n,&q);    tot=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    scanf("%d",&a[i]);    init();    T[n+1]=build(1,m);    //cout<<T[0]<<endl;    for(int i=1;i<=n;i++)    {    int pos=hash(a[i]);    T[i]=update(T[i-1],pos,1,1,m);    //cout<<T[i]<<" ";}//cout<<endl;while(q--){int l,r,k;    scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);    printf("%d\n",t[query(1,m,T[l-1],T[r],k)]); }          }

版本3

/* ***********************************************Author        :kuangbinCreated Time  :2013-9-4 20:13:20File Name     :POJ2104.cpp************************************************ */#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <queue>#include <set>#include <map>#include <string>#include <math.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>using namespace std;const int MAXN = 100010;const int M = MAXN * 30;int n,q,m,tot;int a[MAXN], t[MAXN];int T[M], lson[M], rson[M], c[M];void Init_hash(){    for(int i = 1; i <= n;i++)        t[i] = a[i];    sort(t+1,t+1+n);    m = unique(t+1,t+1+n)-t-1;}int build(int l,int r){    int root = tot++;    c[root] = 0;    if(l != r)    {        int mid = (l+r)>>1;        lson[root] = build(l,mid);        rson[root] = build(mid+1,r);    }    return root;}int hash(int x){    return lower_bound(t+1,t+1+m,x) - t;}int update(int root,int pos,int val){    int newroot = tot++, tmp = newroot;    c[newroot] = c[root] + val;    int l = 1, r = m;    while(l < r)    {        int mid = (l+r)>>1;        if(pos <= mid)        {            lson[newroot] = tot++; rson[newroot] = rson[root];            newroot = lson[newroot]; root = lson[root];            r = mid;        }        else        {            rson[newroot] = tot++; lson[newroot] = lson[root];            newroot = rson[newroot]; root = rson[root];            l = mid+1;        }        c[newroot] = c[root] + val;    }    return tmp;}int query(int left_root,int right_root,int k){    int l = 1, r = m;    while( l < r)    {        int mid = (l+r)>>1;        if(c[lson[left_root]]-c[lson[right_root]] >= k )        {            r = mid;            left_root = lson[left_root];            right_root = lson[right_root];        }        else        {            l = mid + 1;            k -= c[lson[left_root]] - c[lson[right_root]];            left_root = rson[left_root];            right_root = rson[right_root];        }    }    return l;}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    while(scanf("%d%d",&n,&q) == 2)    {        tot = 0;        for(int i = 1;i <= n;i++)            scanf("%d",&a[i]);        Init_hash();        T[n+1] = build(1,m);        for(int i = n;i ;i--)        {            int pos = hash(a[i]);            T[i] = update(T[i+1],pos,1);        }        while(q--)        {            int l,r,k;            scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);            printf("%d\n",t[query(T[l],T[r+1],k)]);        }    }    return 0;}

这题的无修改查询的，有修改查询的需要套树状数组，见下一篇

连接：

主席树 | | 可持久化线段树 - L__J

个人对主席树算法的理解