乘积最大【题解】

代码已经摆在下面了。【原题】请点击这里

下面简单说一下题目内容：

给定一个长为N（6<=N<=40）的数字字符串（其实用int数组也可以）,往它们中间塞入K（1<=K<=6）个乘号，

使形成的算式结果（乘积）最大。

“区间DP与其余DP有别”所以在理解与解题是不应该以其他的DP思路为基础（不然会很凌乱）。这是一道划分型区间DP。

首先要抓住DP的共性：求出子问题最优解，使每个子问题包含其子问题中的最优解。区间DP同一问题（相比之下）包含更多的子问题最优解，

所以可以简单理解为：枚举“区间”，也就是说，线性动规每个点可能就只有2个左右的来源，而这一题的每个子问题的最优解要牵扯到多个来源。

下面开始美妙的分析：

（1）影响每一个状态的玩意儿有：当前长度i（或者说是位置）,当前已使用的h个乘号（*）;

（2）通过简单的思考：如果我们想求出：在前i个数中，用h个乘号的情况下的最大乘积（即一个子问题的最优解）。那么，我们就需要，把这其中所有

的组合方式的乘积记录一遍，再在它们中找到最优解（这叫“状态更新”），记为此状态（i，h）的最优解。

（3）综上，我们要做的事情顺序如下：枚举范围(i,h)——在当前范围中枚举所有解，找出的全部解中选出最优的（max/min）——记为当前状态最优解

【由于大范围依附于小范围，所以范围的枚举从小到大！】                                                                                                                                                                                                   

现在，快睡着的朋友们，也许下面有幅图片会产生更好的理解效果。

首先我把关键代码摆出来：

#include<stdio.h>#include<iostream>#define go(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)using namespace std;int a[60],f[1000][1000],sum[60][60];int main(){int n,k,i,j,h;    cin>>n>>k;go(i,1,n){scanf("%1d",&a[i]);sum[i][i]=a[i];}go(i,1,n)go(j,i+1,n)sum[i][j]=sum[i][j-1]*10+a[j];    go(i,1,n)f[i][0]=sum[1][i];    go(h,1,k)go(i,h+1,n)go(j,h,i-1){f[i][h]=max(f[i][h],f[j][h-1]*sum[j+1][i]);}    cout<<f[n][k];return 0;}

其实这就是完整的程序。首先做一个简单的解释：go(i,1,n)是什么鬼？这不是鬼，这是一个宏定义，看见“#include<iostream>”下面那一排了吗！我相信你一看就懂了,这样做纯粹是为了偷懒。由于上图是对DP核心部分的解释，所以在这之前，我得讲讲一些预处理。首先看到这两排：

cin>>n>>k;go(i,1,n){scanf("%1d",&a[i]);sum[i][i]=a[i];}

go(i,1,n)go(j,i+1,n)sum[i][j]=sum[i][j-1]*10+a[j];

第一排的前部分是读入，每次只取一位地将数字存到a数组中（so convenient）。然后注意sum数组的降临！其用途是：sum[a][b]表示将第a位到第b位的数字连成一个数字的值，如：“1”“3”“4”连成134。这东西在后面很有用。由于DP是“用空间换取时间”，所以这些预处理在所不惜。

好，非常好，张姐！现在开始分析DP核心程序，看这里（建议认真看图）：

go(h,1,k)go(i,h+1,n)go(j,h,i-1){f[i][h]=max(f[i][h],f[j][h-1]*sum[j+1][i]);

首先，我们要看懂三层循环，它们分别是：h（1~K），i（h+1~n），j（h，i-1）

【注意：这道题读入的是K，现在的循环变量是h】。h表示当前你准备往一堆数中塞入第h个乘号（在这之前，已经有h-1个乘号被你塞到了这堆数中，但你要知道，这堆数不一定是你读入的整堆数，可以视作子问题一枚）。i表示什么？（你可以随时瞟一眼上面的图），在图中，我们发现，i的箭头走在最前面（a，b无实义），我们可以这样讲：h和i两个变量在这整堆数中划分出一个区域（枚举区间），然后变量j则在它俩之间运动（即图中a，b两点之间，不包括端点），那么j就将该区域划分成两部分，设这两部分为A（h~j）,B(j+1~i)。我们令前一部分A区间已经完成了最优解的枚举，将第h个乘号放在j处（这里特指j所在数的尾巴上），再令B区间是一个整体（不含乘号）。因此，A区间是用其状态f[][]表示，B区间则是用sum[][]表示的。别忘了j是在h和i之间运动的，所以它每走一步，就可以产生新的A，B区间，并将这些不同的A,B区间组合进行比较，找出其中的最优解（也就是乘积最大的搭配方式）。当然，j是不能运动到h上，因为这样B区间就消失了！最后一点是：你要有足够的勇气与理解能力去相信，A区间里面已经存了它的最优解（因为循环是从小到大进行的）。

现在，就看DP方程了（f[i][h]的含义：在前i个数中放入h个乘号，所得到的最大乘积）

f[i][h]=max(f[i][h],f[j][h-1]*sum[j+1][i]

由于f[i][h]每次要与多个f[j][h-1]*sum[j+1][i]所以用max来不断更新“最优解”。其实，本质上就是枚举A，B两区间的最大值，然而A，B两区间的内容取决于当前i，j，h的值。

张姐需要再次重申的是f[i][h]的含义（看上面），所以：f[i][h]的最优值取决于在它的范围之内各个区间中只放h-1个乘号的状态中的最优解，即f[j][h-1]*sum[j+1][i]。

好，非常好。下面这幅图展示了一个状态的枚举过程：

最后，说明两个问题。

（一）为什么枚举的区间的左边界是h而不是1。因为在循环中，h代表当前的放置乘号的个数，所以第h个乘号必须放在第h个数的右侧。举个例子：比如现在该放第3个乘号了，那么这个乘号能够放在第1个数或是第2个数后面吗？我们注意到图中的淡黄色区域，那表示已经找到最优解的区间，那么里面就存了前两个乘号，再怎么说，我们也应该给他俩留两个位置吧，比如这样放：“2*7*6*17637361”，所以第3个乘号只能从第3个数开始放。

（二）还有一个预处理没讲。当h为1时，f[i][h]就成了f[i][0]，这里面是没有值的，所以我们需要下面这句话：

go(i,1,n)f[i][0]=sum[1][i];

其实很好理解：f[i][0]表示：在前i个数中放入0个乘号的最大值，所以就是这一串数所组成的多位数sum[1][i]。

这道题的个人理解就是这样，如有纰漏，欢迎指出！

在此，推荐几道区间DP的典型例题：（第一个和本题是划分型DP，其余为归并型DP）

数字游戏    能量项链     石子归并【1】   石子归并【2】