LIS和LCS

首先介绍一下LIS和LCS的DP解法O(N^2)

LCS：两个有序序列a和b，求他们公共子序列的最大长度

我们定义一个数组DP[i][j],表示的是a的前i项和b的前j项的最大公共子序列的长度，那么由于是用迭代法，所以计算DP[i][j]前，DP[i-1][j]和DP[i][j-1]就都已经计算出来了，不难理解就可以得出状态转移方程：

DP[i][j]  = DP[i-1][j-1] + 1;   如果a[i] == b[j]

                MAX(DP[i-1][j], DP[i][j-1])  如果a[i] != b[j]

 

LIS：一个a序列，求它的最长上升子序列的最大长度

另外，由于每次都是扫描b数组,那我们就只需要一个DP[2][B]的数组就可以了，DP[0][]依赖于DP[1][]，DP[1][]依赖于DP[0][],只要实现动态处理就可以了。

这个状态转移方程也不难给出

DP[j] = MAX(DP[i]) + 1 满足条件a[j] > a[i]

对每一个a[j]，枚举一遍a[0]....a[j-1]就可以了

 

下面再来看看他们的O(nlogn)的解法

首先是LCS，我们把a序列中的每个元素在b中出现的位置保存起来，再按照降序排列，排列后再代入a的每个对应元素，那就转化为了求这个新的序列的最长上升子序列了。如：a[] = {a, b, c,} b[] = {a,b,c,b,a,d},那么a中的a，b，c在b中出现的位置分别就是

{0,4},{1,3},{2}分别按降序排列后代入a序列就是{4,0,2,3,1},之所以要按照降序排列，目的就是为了让每个元素只取到一次。

接下来的问题就是要求最长升序子序列问题了，也就是求LIS。

PS：个人认为这种转化并没有多大意义，因为当数据比较大时，举一个例子来说：a[]= “aaaaaaaaaaa”,b[] = "aaaaaaaaaaa",他们都有n个a，那么a[]中‘a’在b[]出现了n次那么替换之后的a就变为了n-1...1,n-1...1,... ...这样a[]就有了n^2个数了这样不仅是空间，就连时间也比原来n^2要大。所以感觉这种转化还是要慎用。