算法导论——15动态规划——15.1钢条切割

1.动态规划主要思想：

将大问题求最优解问题，分解为小问题求最优解问题。动态规划对每个子问题只求解一次，将结果保存，若之后需要该子问题的结果，直接查找即可。

利用空间换取时间，并且这种方式是有效的。

2.应用领域：求最优化问题。

3.步骤：

（1）刻画一个最优解的结构特征；

（2）递归定义最优解的值；

（3）得到最优解的值，通常采用自底向上的方法；

（4）利用计算出的信息，构造一个最优解。

4.实例：

针对《算法导论》第15章第1节的钢条切割问题。使用自底向上法求解。

思路：恰当定义子问题“规模”（非常重要）；将子问题按照由小到大排序，时子问题求最优解时依赖“更小”子问题；每个子问题的最优解和最优解值均保存，减少重复计算子问题，节省时间。

代码：

import java.util.Scanner;public class ButtomToUp {    public static void main(String[] args) {        Scanner in = new Scanner(System.in);        while (in.hasNext()) {            int n = in.nextInt();            int[] p = new int[n + 1];// 收益数组            int[] r = new int[n + 1];// 最大收益值数组            int[] s = new int[n + 1];// 第i个规模最优时，第一段的长度            p[0] = 0;            for (int a = 1; a <= n; a++) {                p[a] = in.nextInt();            }            r[0] = 0;            // 动态规划进行由底到顶计算            for (int i = 1; i <= n; i++) {                int max = Integer.MIN_VALUE;                for (int j = 1; j <= i; j++) {                    if (max < p[j] + r[i - j]) {                        max = p[j] + r[i - j];                        s[i] = j;                    }                }                r[i] = max;            }            System.out.println("规模为i时最优值：" + r[n]);            System.out.println("最优解的值分别为：");            while (n > 0) {                int value = s[n];                n = n - s[n];                System.out.print(value + "\t");            }        }    }}