Cpp环境【NOIP2006提高组】【Code[VS]1155】【Vijos1399】 金(精)明的预算
来源:互联网 发布:js当前时间减去一个月 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 00:18
【问题描述】
金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间需要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过N元钱就行”。今天一早,金明就开始做预算了,他把想买的物品分为两类:主件与附件,附件是从属于某个主件的,下表就是一些主件与附件的例子:
如果要买归类为附件的物品,必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多,肯定会超过妈妈限定的N元。于是,他把每件物品规定了一个重要度,分为5等:用整数1~5表示,第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是10元的整数倍)。他希望在不超过N元(可以等于N元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第j件物品的价格为v[j],重要度为w[j],共选中了k件物品,编号依次为j1,j2,…,jk,则所求的总和为:v[j1]w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。(其中为乘号)
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
【输入格式】
第1行,为两个正整数,用一个空格隔开:N m,其中N(<32000)表示总钱数,m(<60)为希望购买物品的个数。
从第2行到第m+1行,第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据,每行有3个非负整数:v p q,其中v表示该物品的价格(v<10000),p表示该物品的重要度(1~5),q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0,表示该物品为主件,如果 q>0,表示该物品为附件,q 是所属主件的编号。
【输出格式】
只有一个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<200000)。
【输入样例】
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
【输出样例】
2200
【来源】
NOIP2006提高组复赛第2题
Code[VS]原题传送矩阵
重庆一中题库原题传送矩阵
【思路梳理】
能够很直观地看出这是一道经典0/1背包问题的变种,所谓的价格实质上就是背包的容积,tmp=a[i].cost*a[i].importance是放入物品的价值,要求在不超过背包容积的前提下使得整个背包内物品的总价值最大。
部分物品有依赖性,即必须要在某种物品已经存在于背包内的前提下才能放入。如果使用暴力的回溯算法的话,可以使用标记数组,标记某个物品是否已经放入了背包。但是回溯算法的时间复杂度可以达到O(5^N)(每一个物品存在至多五种不同的方案,共有n个物品),显然不现实。
显然应该考虑的是动态规划。仔细观察后可以发现:物品数量并不多(至多60个),而且附件的数量只有至多2个,意味着可以进行枚举,讨论五种情况:
- 既不选主件也不选附件
- 只选主件,不选任何附件
- 只选主件和第一个附件
- 只选主件和第二个附件
选择主件和所有的两个附件。
那么这样一来不难列出状态函数:f(i,j)=从前i种物品中选取任意个总容积之和不超过j的物品时,最大的权值之和。
显然我们的时间复杂度只有O(M*N),可以轻松通过所有数据。建立存储结构时,笔者使用的是vector,将主件和它对应的附件放在同一类,dp时分类考虑即可,列出状态转移方程如下:
f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-x)+y | x=不同方案分别的价格,y=不同方案分别的权值和}
边界分析:f(0,0)=0。
可以使用滚动数组,省空间不省时(实际上可以)。
【Cpp代码】
#include<cstdio>#include<vector>#include<cstring>#include<iostream>#define maxm 65#define maxn 32005using namespace std;int d[maxn],n,m;struct data{ int cost; int tmp;};vector<data> a[maxm];void read(int &x){ x=0; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar(); while(ch>='0' && ch<='9') { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); }}void dp(){ //f(i,j)=从前i组(包括该组的主件&附件)中选择总价值不超过j的任意个物品所能够形成的最大…… memset(d,0,sizeof(d)); for(int i=1;i<=m;i++)if(a[i].size()) for(int j=n;j>=0;j--) { int x=0,y=0; for(int k=0;k<a[i].size();k++)//比较了不选,选主件,选第1个配件+主件,选2个配件+主件的最优值 { x+=a[i][k].cost,y+=a[i][k].tmp; if(j>=x) d[j]=max(d[j],d[j-x]+y); } //选第2个配件加主件 if(a[i].size()==3) x=a[i][0].cost+a[i][2].cost,y=a[i][0].tmp+a[i][2].tmp; if(j>=x) d[j]=max(d[j],d[j-x]+y); } cout<<d[n];}int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++)//m个物品 { int v,p,q; read(v),read(p),read(q); if(q==0) a[i].push_back((data){v,v*p});//如果它是主件,独立地加入新的一组 else a[q].push_back((data){v,v*p}); } //for(int i=1;i<=n;i++) sort(a[i].begin(),a[i].end()); dp(); return 0;}
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