二叉排序树

二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉排序树；
（4）没有键值相等的结点。
二叉排序树的查找算法：
/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, */
/* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE */
/* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p)
{
if (!T) /* 查找不成功 */
{
*p = f;
return FALSE;
}
else if (key==T->data) /* 查找成功 */
{
*p = T;
return TRUE;
}
else if (keydata)
return SearchBST(T->lchild, key, T, p); /* 在左子树中继续查找 */
else
return SearchBST(T->rchild, key, T, p); /* 在右子树中继续查找 */
}
二叉排序树的插入算法：
/* 当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时， */
/* 插入key并返回TRUE，否则返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key)
{
BiTree p,s;
if (!SearchBST(T, key, NULL, &p)) / 查找不成功 */
{
s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = key;
s->lchild = s->rchild = NULL;
if (!p)
T = s; / 插入s为新的根结点 */
else if (keydata)
p->lchild = s; /* 插入s为左孩子 */
else
p->rchild = s; /* 插入s为右孩子 */
return TRUE;
}
else
return FALSE; /* 树中已有关键字相同的结点，不再插入 */
}

二叉排序树的删除算法：
在二叉排序树中删去一个结点，分三种情况讨论：
1.若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
2.若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
3.若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整。比较好的做法是，找到*p的直接前驱（或直接后继）*s，用*s来替换结点*p，然后再删除结点*s。

/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */
/* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{
if(!T) / 不存在关键字等于key的数据元素 */
return FALSE;
else
{
if (key==(T)->data) / 找到关键字等于key的数据元素 */
return Delete(T);
else if (key<(*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);

}

}

/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。 */
Status Delete(BiTree *p)
{
BiTree q,s;
if((p)->rchild==NULL) / 右子树空则只需重接它的左子树（待删结点是叶子也走此分支) */
{
q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);
}
else if((p)->lchild==NULL) / 只需重接它的右子树 */
{
q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);
}
else /* 左右子树均不空 */
{
q=*p; s=(*p)->lchild;
while(s->rchild) /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱） */
{
q=s;
s=s->rchild;
}
(p)->data=s->data; / s指向被删结点的直接前驱（将被删结点前驱的值取代被删结点的值） */
if(q!=*p)
q->rchild=s->lchild; /* 重接q的右子树 */
else
q->lchild=s->lchild; /* 重接q的左子树 */
free(s);
}
return TRUE;
}

最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和logn成正比（O(log2(n))）。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树为一棵斜树，树的深度为n，其平均查找长度为(n + 1) / 2。也就是时间复杂度为O(n)，等同于顺序查找。因此，如果希望对一个集合按二叉排序树查找，最好是把它构建成一棵平衡的二叉排序树（平衡二叉树）。