unity 点乘与差乘

一、向量

1、向量的数学定义

向量就是一个数字列表，对于程序员来说一个向量就是一个数组。
向量的维度就是向量包含的“数”的数目，向量可以有任意正数维，标量可以被认为是一维向量。
书写向量时，用方括号将一列数括起来，如[1,2,3] 水平书写的向量叫行向量 垂直书写的向量叫做列向量
2、向量的几何意义

几何意义上说，向量是有大小和方向的有向线段。向量的大小就是向量的长度（模）向量有非负的长度。
向量的方向描述了空间中向量的指向。
向量的形式：向量定义的两大要素——大小和方向，有时候需要引用向量的头和尾，下图所示，箭头是向量的末端，箭尾是向量的开始

向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移，例如2D向量列出的是沿x坐标方向和y坐标方向的位移。
3 unity中的向量 Vector类
Vector2 二维向量，表示 2D 的向量和点
Vector3 三维向量，表示3D的向量和点
Vector3.normalized 规范化，返回向量的长度为1（只读）。
Vector3.magnitude 长度，返回向量的长度（只读）。
Vector3.Angle 角度 ， Angle (from : Vector3, to : Vector3) ，由from和to两者返回一个角度。形象的说，from和to的连线和它们一个指定轴向的夹角

二、点乘

1 点乘的数学意义

2 点乘的几何意义

3点乘的特点
在向量u,向量v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；
如果为零，那么u,v垂直；
如果为正，那么u,v形成的角小于90度。
3 点乘在unity中的应用
Vector3.Dot 点乘，对于normalized向量，如果他们指向在完全相同的方向，Dot返回1。如果他们指向完全相反的方向，返回-1。对于其他的情况返回一个数（例如：如果是垂直的Dot返回0）。对于任意长度的向量，Dot返回值是相同的：当向量之间的角度减小，它们得到更大的值。

三、叉乘

1 叉乘的数学意义
表示方法
两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。
定义
向量积可以被定义为：
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

也可以这样定义（等效）：
向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin

四、点乘与叉乘在项目中的应用

项目需求：
1 通过点乘计算物体B在物体A的前方还是后方
2 通过叉乘，计算物体A转向物体B时，最小角的旋转方向

实现过程：
首先计算出物体A的前方朝向向量v_Bz=B.transform.forward，然后计算物体B相对于物体A的位置向量 v_AB = A.position - B.position;

通过计算v_Bz与v_AB向量点乘结果的正负，判断物体B在物体A的前后
如果物体B在物体A前方， Vector3.Dot(v_Bz,v_AB)大于0
如果物体B在物体A后方， Vector3.Dot(v_Bz,v_AB)小于0

通过计算v_Bz与v_AB向量叉乘的结果，判断旋转方向
如果逆时针旋转，v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB)为沿y轴负方向
如果顺时针旋转，v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB)为沿y轴正方向

using UnityEngine;using System.Collections;public class Vector3_Dot : MonoBehaviour {    public Transform A, B;    Vector3 v_Bz, v_AB, v_A,v_B,v_C;    string str = "";    // Use this for initialization    void Start()    {    }    // Update is called once per frame    void Update()    {        //点乘        v_Bz = B.transform.forward;//B.transform.TransformDirection(Vector3.forward);        v_AB = A.position - B.position;        float f = Vector3.Dot(v_Bz,v_AB);        if (f>0)        {            str = "A在B自身座标系的前方";        }        else if (f<0)        {            str = "A在B自身座标系的后方";        }        else        {            str = "A在B自身座标系的左前方或右方";        }        //差乘        v_A = A.position;        v_B = B.position;        v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB);       // A.Rotate(0,0,0);    }    void OnGUI()    {        GUI.Label(new Rect(10,10,200,60),str);    }    void OnDrawGizmos()    {        //差乘绘制相关线        Gizmos.color = Color.blue;        Gizmos.DrawLine(-v_C,Vector3.zero);        //点乘绘制相关线        Gizmos.color = Color.yellow;        Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,A.position);        Gizmos.color = Color.yellow;        Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,B.position);        Gizmos.color = Color.red;        Gizmos.DrawLine(A.position, B.position);        Gizmos.color = Color.red;        Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,v_AB);        Gizmos.color = Color.green;       // Gizmos.DrawLine(A.transform.position, Vector3.left);    }}

总结：
点乘可以判断向量之间的夹角，叉乘可以判断向量之间的方向在顺时针还是逆时针方向