Manacher算法详解

Mancher算法如今已是一个常被涉及的的算法，主要适用于和回文串相关的一些题目，虽然说不常用（对于OI的其他算法而言），但却是一个很重要的算法。

Mancher算法的目标是解决回文串问题。所谓回文串，就是在一定范围内的某个子串，使得这个子串无论正着读还是反着读都是一样的。Mancher算法解决回文串问题的方法，就是求出在串中每一个下标向外延伸的最远位置，并且要求延伸到的这个子串是个回文串。简单来说，就是对于某个串S,某个下标i，有

f(i)=maxj=0{j|i−j≥0,i+j<|S|,Si−j=Si+j}

那么，怎么求f(i)呢？如果直接暴力的话，对于像"aaaaaa⋯"这样的串，无疑是O(n2)的。
那么，Mancher又是怎样求的呢？Mancher算法基于一个观察，如果有两个下标，其中一个的延伸最长回文串范围和另一个的延伸最长回文串相交，也就是说，对于串S，其中有i,j∈S满足i<j并且j−f(j)≤i，这时对于另一个下标k，使得j−i=k−j，那么就意味着

f(k)≥min{f(i),f(j)+i−j}

。因为，k实际上是i关于j的对称点（这由k的表示很容易看出），而这样的话，若j的回文串完全包含i的回文串，那么k的回文串长度也只能是f(i)。因为j−f(j)≤i≤j，所以进而又有

j−f(j)≤i≤j≤k≤j+f(j)

由回文串的性质可知

[j−f(j),j]=[j+f(j)]

若将[i−f(i),i+f(i)]的每一个字符全部以j为中心对称，那么对称过去的区间就必然是[k−f(k),k+f(k)]，而且这样的话，由于j的回文串对于i的回文串的完全包含，又因为[i−f(i),i+f(i)]按照定义是i最长的回文串，那么f(k)也显然不能再长了。所以在这种情况下，我们可以确认。另外，如果i的回文串比j的回文串包含更多些的字符，那么这时我们也只能确认到j的回文串以内的范围了。所以，这就是为什么这个Mancher的关键定理成立了。
当然，如果我们不能确定，那么我们应当继续找……
另外，对于上文所提到的用以映射的中心点j，我们应当选使得j+f(j)尽量大的那一个，因为这样的话才能够涉及得更远（也就是能直接拿答案的更多）。
时间复杂度相当好分析，几乎全都是单调的，一路遍历过去都是O(1)的操作，所以是O(1)×n=O(n)。