[Ural 1132] Square Root （二次剩余方程）

Ural - 1132

求解一个二次剩余方程

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裸题裸题……
根据二次剩余的相关定义与解法
如果 n是 modp的二次剩余，对于方程 x2=n (modp)
如果modp的剩余系中存在 a使得
w=a2−n不是modp的二次剩余
那么 x=(a+w‾‾√)p+12是方程的一个解
方程的另一个解为 p−x
具体证明可以看这里

判断一个数是不是modp的二次剩余，可以用欧拉判定准则
如果 np−12=1 (modp)，那么 n是modp的二次剩余
如果 np−12=−1 (modp)，那么 n不是modp的二次剩余
前者可以用费马小定理证，后者可以用威尔逊定理证

由于二次剩余方程是针对 mod 一个奇素数的，所以要特判一下 p=2的情况

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cctype>#include <map>#include <set>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <ctime>using namespace std;typedef pair<int,int> Pii;typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;typedef double DBL;typedef long double LDBL;#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define CLR(a) MST(a,0)#define SQR(a) ((a)*(a))#define PCUT puts("\n----------")int A,N;struct quad{    LL a,b,d;    quad operator * (const quad &v) const    {        quad tem;        tem.a = (a*v.a%N + b*v.b*d%N)%N;        tem.b = (a*v.b%N + b*v.a%N)%N;        tem.d = d;        return tem;    }    quad operator ^ (LL n)    {        quad res, now=*this;        res.a = 1, res.b=0;        while(n)        {            if(n&1) res=now*res;            now=now*now;            n>>=1;        }        return res;    }};LL Pow(LL,LL,LL);int Legendre(LL,LL);int quad_residue(int,int);int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt", "r", stdin);//  freopen("out.txt", "w", stdout);    #endif    srand(time(0));    int T;    scanf("%d", &T);    for(int ck=1; ck<=T; ck++)    {        scanf("%d%d", &A, &N);        int a = quad_residue(A,N), b;        if(a==-1) puts("No root");        else        {            b = N-a;            if(a>b) swap(a,b);            if(a==b) printf("%d\n", a);            else printf("%d %d\n", a, b);        }    }    return 0;}int quad_residue(int n, int p){    if(p==2) return 1;    if(Legendre(n,p)==-1) return -1;    LL a, w;    while(1)    {        a = rand()%p;        w = ( (a*a-n)%p + p )%p;        if(Legendre(w,p)==-1) break;    }    quad res;    res.a = a;    res.b = 1;    res.d = w;    res = res^((LL)(p+1)>>1);    return res.a;}int Legendre(LL a, LL p){    LL res = Pow(a, (p-1)>>1, p);    if(res==p-1) res=-1;    return (int)res;}LL Pow(LL x, LL n, LL p){    LL res=1;    while(n)    {        if(n&1) res=res*x%p;        x=x*x%p;        n>>=1;    }    return res;}