UE4控制三自由度动感平台

1. 动感平台物理结构

如图1所示，动感平台由动平台、固定平台、驱动支链及防扭臂组成。防扭臂通过球铰与动平台连接，D杆只能沿Z轴方向移动，C杆沿移动副平动同时可绕Y轴平行方向转动。平台具有3个自由度，分别是绕Y₁轴的侧翻运动，绕X₁轴的俯仰运动和沿Z₁轴的竖直平动。

2. 动感平台逆解分析

逆解分析是已知动平台姿态 （α，β，z_p），求解3根电动缸的长度，其中z_p为动平台中心点O₁在动平台Z方向的位移。

2.1 UE4坐标系

UE4采用的是和Direct3D一致的左手坐标系，坐标向量为行向量，并且规定X轴正方向为右，Y轴正方向为外，Z轴正方向为上。绕轴旋转α时，必须知道哪个方向被认为“正”，那个方向被认为“负”，左手坐标系中定义此方向的规则为左手法则。当然，旋转轴在理论上市无限延伸的，但我们还是要认为它有正端点和负端点。与笛卡尔坐标轴定义坐标系相同，左手法则是这样的：伸出左手，大拇指向上，其余四指弯曲。大拇指指向旋转轴的正方向，此时，四指弯曲的方向就是旋转的正方向。

平移变换

将三维空间中的一个点[x, y, z, 1]移动到另外一个点[x’, y’, z’, 1]，三个坐标轴的移动分量分别为x_p，Y_p，Z_p，即
x’ = x + x_p
y’ = y + y_p
z’ = z + z_p
平移变换的矩阵如下：
[x′y′z′1] = [xyz1] ⎡⎣⎢⎢⎢⎢100xp010yp001zp0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥

旋转变换

绕X轴旋转时，顶点的x坐标不发生变化，y坐标和z坐标绕X轴旋转α度，旋转的正方向为顺时针方向（从轴的正端点向负端点看）。[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x’, y’, z’, 1]表示变换后的点，变换矩阵如下：
[x′y′z′1] = [xyz1] ⎡⎣⎢⎢⎢10000cosα−sinα00sinαcosα00001⎤⎦⎥⎥⎥

绕Y轴旋转时，顶点的y坐标不发生变化，x坐标和z坐标绕X轴旋转β度。[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x’, y’, z’, 1]表示变换后的点，变换矩阵如下：
[x′y′z′1] = [xyz1] ⎡⎣⎢⎢⎢cosβ0sinβ00100−sinβ0cosβ00001⎤⎦⎥⎥⎥

绕Z轴旋转时，顶点的z坐标不发生变化，x坐标和y坐标绕X轴旋转θ度。[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x’, y’, z’, 1]表示变换后的点，变换矩阵如下：
[x′y′z′1] = [xyz1] ⎡⎣⎢⎢⎢cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001⎤⎦⎥⎥⎥

仿射变换

将向量先旋转再平移，并假定旋转顺序为XYZ，依次绕X轴旋转α，绕Y轴旋转β，绕Z轴旋转θ。则变换矩阵为
⎡⎣⎢⎢⎢10000cosα−sinα00sinαcosα00001⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢cosβ0sinβ00100−sinβ0cosβ00001⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢100xp010yp001zp0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢cosβcosθsinαsinβcosθ−cosαsinθcosαsinβcosθ+sinαsinθxpcosβsinθsinαsinβsinθ+cosαcosθcosαsinβsinθ−sinαcosθyp−sinβsinαcosβcosαcosβzp0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥

参考链接

2.2 逆解分析

初始位置动定平台平行，平台虎克铰所组成三角形底边A₁A₂=B₁B₂=2b，底边高均为2h，则A₁，A₂，A₃在固定坐标系下的齐次坐标为：
⎡⎣⎢A1A2A3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢−bb0hh−h000111⎤⎦⎥ (1)

设动坐标系原点O₁在固定坐标系下的坐标为（0，0，L）。B₁，B₂，B₃在动坐标系下的齐次坐标为：
⎡⎣⎢B1B2B3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢−bb0hh−h000111⎤⎦⎥ (2)

动坐标系O₁X₁Y₁Z₁转动欧拉角为绕X轴旋转角度α，绕Y轴旋转角度β，并沿Z轴平动位移z_p。这里θ=x_p=y_p=0则动坐标系相对固定坐标系OXYZ的变换矩阵可表示为：
T=⎡⎣⎢⎢⎢⎢cosβsinαsinβcosαsinβ00cosα−sinα0−sinβsinαcosβcosαcosβzp0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥ (3)

由式(3)右乘式(2)齐次形式，可得到B₁，B₂，B₃在固定坐标系下变换后的坐标为：
⎡⎣⎢B′1B′2B′3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢−bb0hh−h000111⎤⎦⎥ ⎡⎣⎢⎢⎢⎢cosβsinαsinβcosαsinβ00cosα−sinα0−sinβsinαcosβcosαcosβzp0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢−bcosβ+hsinαsinβbcosβ+hsinαsinβ−hsinαsinβhcosαhcosα−hcosαbsinβ+hsinαcosβ+zp−bsinβ+hsinαcosβ+zp−hsinαcosβ+zp111⎤⎦⎥

求向量A1B′1，A2B′2，A3B′3的模即为电动缸伸缩后的长度L1，L2，L3。