62. Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The
robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked
‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

这题是典型的dynamic programming题，但我一开始的第一反应是直接递归最方便，因为高中数学归纳法的影响吧。这种问题都可以递归来做。对于坐标[m,n]的点，到达他的所有可能路线一定等于到达[m-1,n]和 到达[m,n-1]的所有路线数目和和，因为要想到达[m,n]最后必须是经过这两个点，所以代码简明如下：

方法一：递归（回溯）

int uniquePaths(int m, int n) {    if (m == 0 || n == 0) return 0;    if (m == 1 || n == 1) return 1;    return uniquePaths(m-1, n) + uniquePaths(m, n-1);}

计算上这样做是对的，可是这题超时了。时间效率上比较低。

方法二：动态规划

思想上跟之前的回溯一样，每一个位置可以从它的左边和上边的路径数得到，所以我们可以从起点到终点建立一个矩阵来记录这些值。相比于第一种递归，少了从后往前再从前往后的过程，也少了运行时调用函数的过程。

int uniquePaths(int m, int n) {    vector<vector<int>> res(m, vector<int>(n,1));    int i, j;    for (i = 1; i < m; i++) {        for (j = 1; j < n; j++) {            res[i][j] = res[i-1][j] + res[i][j-1];        }    }    return res[m-1][n-1];}

方法三：公式法

其实这个问题就是个排列组合的问题，假设是3x7的矩阵，其实到终点就是向下走两步加上向右走6步，一共8步，有多少种排列组合。8个选2或者选6的问题。

int uniquePaths(int m, int n) {    int tm = min(m,n) - 1;    int tn = max(m,n) - 1;    int t = tm + tn;    int i;    double res = 1;    // here we calculate the total possible path number     // Combination(N, k) = n! / (k!(n - k)!)    // reduce the numerator and denominator and get    // C = ( (n - k + 1) * (n - k + 2) * ... * n ) / k!    for (i = 1; i <= tm; i++) {        res = res * (t--) / i;    }    return res;}

直接描述这个公式就行了。特别注意的一个问题，因为我们不是先算分母再算分子，我们是每次乘一个又除一个，所以res得是double，否则作为int，很多时候会有小数导致res结果不对，返回答案错误，千万注意。