水库抽样算法精简总结

水库抽样算法

问题描述

输入：一组数据，大小未知

输出：这组数据的K个均匀抽取

要求：仅扫描一次

总体要求：从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定，保证每个元素抽到的概率相同

解决方案

一些符号：为要抽样的个数，N为总体个数位置，n为当前遍历的元素的位置。pool为k大小的数组，用来保存抽到的样本

n<=k，把当前值放入pool中，构成初步样本

n>k，生成一个随机数p，如果p

证明—归纳法

假设:当第n个元素以k/n，前n-1个元素也被选中的概率也为k/n

证明：

    1）当n<=k时，出现在pool中的每个元素概率都是相同的，都为1
    2）当n=k+1时,计算前k个元素在pool的概率
    a.前k个元素在pool中的元素概率都为1
    b.由假设得，第k+1个元素被选中的概率为：k/(k+1)，pool任意元素被替换的概率为(k/(k+1))*(1/k)=1/(k+1)，没被替换(即选中)的概率为1-1/(k+1)=k/(k+1).
    由a*b=1*k/(k+1)=k/(k+1),前k个元素和k+1元素被选中的概率都为k/k+1。

    3）当n>k+1时，计算前n-1个元素在pool的概率
    a.前n-1个元素在pool中被选择的的概率为k/(n-1)
    b.由假设得,第n个元素被选中的概率为：k/n，pool任意元素被替换的概率为(k/n)*(1/k)=1/n，没被替换(即选中)的概率为1-1/n=(n-1/)n。
    由a*b=(k/(n-1))*((n-1)/n)=k/n,前k个元素和k+1元素被选中的概率都为k/n。

因为假设成立，所以到数据结束时，所有元素的抽到的概率都为k/N