漫步微积分十六——最大最小值问题
来源:互联网 发布:埃及造假 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 03:48
微积分最引人注目的应用就是寻找函数的最大或最小值或者需要用到最大和最小值。
日常生活充满了这样的问题,数学家和其他人觉得它们很有趣也非常重要。一个商人旨在使利润最大化和成本最小化。工程师设计的新汽车希望其效率最大化。航空公司飞行员希望减少飞行时间和燃料消耗。在科学中,我们经常发现自然以某种方式在最大化或最小化某一量。例如,一缕光线穿过透镜,总是沿着时间最短的那条路径。挂链最终的形状其重力势能最小。
每当我们使用"最大
最小”最多"
至少”“最好的”等等这类字眼时,它是一个合理的猜测,某些最大或最小问题只限于某个范围内。如果这个问题可以用变量和函数来表示(并非所有情况都是如此),那么微积分的方法将帮助我们理解并解决它。
这里许多例子和问题都是用几何的想法来解决,因为最大和最小值在几何中表示特别生动。
我们与一个相当简单有关数的实例开始。
例1:找出两个正数,他们的和为16,乘积尽可能大。
解:如果
那么我们需要找的就是特定的
我们的难点在于
图1我们给出了(3)的大致图像。它的目的是对函数已知事实
我们令导数等于零
图1
回忆一下,负的二阶导意味着曲线是凸的,因为存在最大值。在给定的限定条件下,如果让
例2:一个矩形花园的面积为450
图2
解:我们先画一幅图(图2),介绍一些符号,来方便我们处理问题。如果
限制条件为
利用(5)式,
快速的画个草图(图3)帮助我们可视化函数并看出它的性质,尤其是它存在最小值,没有最大值(我们只对正的
然后让它等于零
图3
(我们忽略了根
例3:找出使矩阵面积最大的尺寸,面积可以用半径为
解:我们选取圆
限制条件为
由(8)可得
图4
很明显
因为
如果不考虑具体尺寸,只关心形状的话,还有一个更有效的方法。首先我们注意到(8) 式可以看做
下一步,(7)式求导并利用最大值时
将(10)代入(11)得
最后的等式给出了最大面积对应的矩形形状。我们也可以说矩阵的高度和宽度之比为
例4:一根长为
解:用
其中
图5
根据(13)式,我们用
利用此式可以得到只用
现在我们注意到,当
令等式为零得
最高点位于左边的端点处,因此要最大化
如果是最小化的话,解为
我们还注意到,当圆的周长等于正方形的边长时可以得到最小面积
例5:土豆削皮器以单价1.5美元(成本是70美分)出售,那么可以卖出500个。单价每降低一美分,销售量就增加25个。问单价为多少时总利润最高?
解:
我们令它的导数等于零的
最有利的销售价格为1.2美元。
这些例子表明,用于求解最大最小问题的数学方法相当简单。最难的部分如何用简单的形式来建模。这是分析、思考的问题,与计算不一样。我们强调这一点是为了说明,在科学中将微积分作为一种工具的话,那它不太可能有太大的价值,除非学会如何理解问题以及将问题翻译成合适的数学语言。
对于待解决的问题规则并不见得都有效,因为还需要想象力和智力,这是没法教的。然而,以下的一般性建议可能会有帮助。他们并不能保证成功,但没有他们就不太可能有所进展。
求最大最小值的策略
1理解问题
2如果涉及几何,那就认真画出图像
3认真标注图像
4如果
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