漫步微积分二十五——面积问题
来源:互联网 发布:视频网站源码 php 编辑:程序博客网 时间:2024/05/20 00:35
每个矩形和三角形都和一个称为面积的数相关。矩形的面积定义为它的高和底之积,三角形的面积是高和底乘积的一半(图1)。因为多边形总可以分解成三角形(图2),其面积就是这些三角形面积的总和。
图1
图2
圆是比较困难的图形。希腊人找到一种非常自然的方式解决它的问题。第一,他们用一个内接正方形来近似圆的面积(图3)。然后他们逐渐增加边的数目,由正八边形加倍边数就是正十六边形,等等。这些内接多边形的面积显然越来越接近圆的精确面积。这种想法得出大家熟悉的公式
图3
图4
接下来我们通过阿基米德计算一段抛物线面积的例子检验这个过程,也就是,图5中由任意弦
图5
摆在我们面前的普遍问题是找到曲线边界围成的面积。然而,我们的大部分工作集中于一种特殊情况,即找出函数
后面我们将会看到,图6所示的面积用符号便是就是
乍一看,它可能出现在计算几何面积的问题中然后就没有什么了,也许,除了数学家,在现实世界中它没有实际用途。实际并非如此。之后会详细给出它的应用,物理和工程问题中很多重要的概念和问题完全依赖于一些想法,他们和用于计算面积的想法相同。作为例子,考虑物理中功和能量的概念,以及工程上由于水的压力水坝所承受的合力问题。因此更多的情况是寻找面积,而不是一个数学家为了解闷纯粹在玩。然而,为了清楚起见,本文只限于我们讨论面积问题本身,后面我们会介绍该基本思想下各种各样的应用。
图6
图7
注解1:作为一个历史趣题,第一个发现曲线围成区域确切面积的人是希波克拉底,公元前五世纪最著名的希腊数学家。为了了解他的做法,考虑图8所示的圆,点
图8
注解2:我们大部分在上学时就知道
虽然很粗略但却是非常有用的近似
上面将
为了做到这一点,让
观察图像我们可以看出
将不同的
所以精确到五位小数得
图9
表1
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