【NOIP2012模拟11.8】斐波那契

Description

小明有一个数列。
a[0] = a[1] = 1。
a[i] = i * a[i - 1] * a[i - 2]（i≥2）。
小明想知道a[n]的因子个数。

Input
输入仅一个正整数n。
Output
输出a[n]的因子个数mod 1,000,000,007的值。
Sample Input
3
Sample Output
4
Data Constraint
Hint
【数据范围】
对于30%的数据满足0≤n≤1,000。
对于100%的数据满足0≤n≤1,000,000。

THE Solution

设f[I]为斐波那契数列的第i项(f[1]=f[2]=1,f[I]=f[I-1]+f[I-2]) 先观察前几项

A[0]=1A[1]=1

A[2]=2∗1∗1=2

A[3]=3∗2∗1=3∗2

A[4]=4∗(3∗2)∗2=4∗3∗22

A[5]=5∗(4∗3∗22)∗(3∗2)=5∗4∗32∗23

注意观察每个因数的指数

可以得知对于每个num(num<=n)，num中的各个质因数在a[n]中一定存在，且个数为f[n-i+1]倍。

因此将1至n分解质因数，将各个质因数个数乘以f[n-i+1]再求和，
再用公式即可算出a[n]的因子个数。
分解质因数时利用类似筛法的方法可以极大地提高效率。
线性筛法

Code

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cmath>#include <cstring>#define mo 1000000007#define N 1000005#define fo(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for (int i=a;i>=b;i--)using namespace std;int a[N],FIB[N],n;bool bz[N];long long Ans=1;int main(){    scanf("%d",&n);    FIB[1] = 1;    FIB[2] = 1;    fo(i,3,n) FIB[i] = (FIB[i - 1] + FIB[i - 2]) % mo;    fo(i,2,n)    {        if (bz[i]) continue;        a[i] =FIB [n - i + 1];        int j = i + i;        while (j <= n)        {            bz[j] = true;            int now = j;            for (;now % i == 0;a[i] = (a[i] + FIB[n - j + 1])%mo) now/=i;            j+=i;        }    }    fo(i,2,n) Ans = (Ans * (a[i] + 1)) % mo;    printf("%lld", Ans );    return 0;}/*A[0]=1 A[1]=1  A[2]=2*1*1=2 A[3]=3*2*1=3*2  A[4]=4*(3*2)*2=4*3*2^2  A[5]=5*(4*3*2^2)*(3*2)=5*4*3^2*2^3 */