全排列的生成算法:字典序法
来源：互联网 发布：手机淘宝如何申请售后 编辑：程序博客网 时间：2024/05/17 23:55
字典序法
递增进位数制法
递减进位数制法
邻位交换法
n进位制法
递归类算法
1.字典序法
字典序算法如下：
设P是1～n的一个全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn
1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即
2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）
3）对换pi，pk
4）再将pj+1......pk-1pkpk+1pn倒转得到排列p'=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列p的下一个下一个排列。
例如839647521是数字1～9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下：
自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4
在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5
将5与4交换
将7421倒转
所以839647521的下一个排列是839651247。
程序代码如下：
Private Sub Dict(p() As Integer, ByVal n As Integer)
Dim i As Integer, j As Integer
OutL p
i = n - 1
Do While i > 0
For j = n To i + 1 Step -1
If p(i) <= p(j) Then Exit For
Next
Swap p(i), p(j)
For j = n To 1 Step -1
i = i + 1
If i >= j Then Exit For
Swap p(i), p(j)
Next
OutL p
i = n
Loop
End Sub
Swap p(i), p(j)是交换两个元素的子过程，OutL p是输出排列的子过程。
2.递增进位数制法
例如排列839647521的中介数是72642321，7、2、6、......分别是排列中数字8、3、9、......的右边比它小的数字个数。
中介数是计算排列的中间环节。已知一个排列，要求下一个排列，首先确定其中介数，一个排列的后继，其中介数是原排列中介数加1，需要注意的是，如果中介数 的末位kn-1+1=2，则要向前进位，一般情形，如果ki+1=n-i+1，则要进位，这就是所谓的递增进位制。例如排列839647521的中介数是 72642321，则下一个排列的中介数是67342221+1=67342300（因为1+1=2，所以向前进位，2+1=3，又发生进位，所以下一个 中介数是67342300）。
得到中介数后，可根据它还原对应得排列。算法如下：
中介数k1、k2、......、kn-1的各位数字顺序表示排列中的数字n、n-1、......、2在排列中距右端的的空位数，因此，要按k1、 k2、......、kn-1的值从右向左确定n、n-1、......、2的位置，并逐个放置在排列中：i放在右起的ki+1位，如果某位已放有数字， 则该位置不算在内，最后一个空位放1。
因此从67342300可得到排列849617523，它就是839647521的后一个排列。因为9最先放置，k1=6，9放在右起第7位，空出6个空位，然后是放8，k2=7，8放在右起第8位，但9占用一位，故8应放在右起第9位，余类推。
程序代码如下：
Private Sub Incr(p() As Integer, ByVal n As Integer)
Dim m() As Integer
Dim i As Integer, j As Integer
Dim a As Integer
ReDim m(n)
For i = 1 To n
Next
Do While n > 0
p(i) = 0
a = m(i) + 1
j = n
Do While j > 0
If p(j) = 0 Then
End If
j = j - 1
Loop
p(j) = n - i + 1
Loop
End Sub
Private Function MedN(m() As Integer)As Boolean
Dim i As Integer, sum As Integer
Dim b As Boolean
b = False
i = n - 1
Do While i > 0
Loop
Sum = 0
For i = 1 To n - 1
Next
If Sum = 0 Then b = True
MedN = b
End Function
3.递减进位制数法
在递增进位制数法中，中介数的最低位是逢2进1，进位频繁，这是一个缺点。把递增进位制数翻转,就得到递减进位制数。
839647521的中介数是67342221(k1k2…kn-1)，倒转成为12224376(kn-1…k2k1)，这是递减进位制数的中介数： ki(i=n-1,n-2,…,2)位逢i向ki-1位进1。给定排列p，p的下一个排列的中介数定义为p的中介数加1。例如p=839647521，p 的中介数为12224376，p的下一个排列的中介数为12224376+1=12224377，由此得到p的下一个排列为893647521。
给定中介数，可用与递增进位制数法类似的方法还原出排列。但在递减进位制数中，可以不先计算中介数就直接从一个排列求出下一个排列。具体算法如下：
1）如果p(i)=n且i<>n，则p(i)与p(i-1)交换
2）如果p(n)=n，则找出一个连续递减序列9、8、......、i，将其从排列左端删除，再以相反顺序加在排列右端，然后将i-1与左边的数字交换
例如p=893647521的下一个排列是983647521。求983647521的下一个排列时，因为9在最左边且第2位为8，第3位不是7，所以将 8和9从小到大排于最右端364752189，再将7与其左方数字对调得到983647521的下一个排列是367452189。又例如求 987635421的下一个排列，只需要将9876从小到大排到最右端并将5与其左方数字3对调，得到534216789。
程序代码如下：
Private Sub Degr(p() As Integer, ByVal n As Integer)
Dim i As Integer, j As Integer
Do While n > 0
i = 0
Do
i = i + 1
If i = n Then Exit Sub
Loop Until p(i) <> p(i + 1) + 1
j = i
Do
i = i + 1
Loop Until p(i) = p(j) - 1
Swap p(i), p(i - 1)
For i = 1 To n - j
p(i) = p(i + j)
Next
For i = 1 To j
p(n - i + 1) = n - i + 1
Next
i = 0
Do
i = i + 1
Loop Until p(i) = n
Swap p(i), p(i - 1)
Loop
End Sub
1 2 3 4
3 1 2 4
Private Sub Adja(p() As Integer, ByVal n As Integer)
m = 1
For i = 3 To n - 1
Next
For i = 1 To m - 1
Swap p(j), p(j - 1)
OutL p
Swap p(j), p(j + 1)
OutL p
Next
End Sub
1）从原始排列p=p1p2......pn开始，第n位加n-1，如果该位的值超过n，则将它除以n，用余数取代该位，并进位（将第n-1位加1）
2）再按同样方法处理n-1位，n-2位，......，直至不再发生进位为止，处理完一个排列就产生了一个新的排列
3）将其中有相同元素的排列去掉
4）当第一个元素的值>n则结束
Private Sub Incr(p() As Integer, ByVal n As Integer)
OutL p
Nextn:
If p(j) > n Then
p(j) = p(j) Mod n
p(j - 1) = p(j - 1) + 1
If p(1) > n Then Exit Sub
End If
For j = i + 1 To n
If p(i) = p(j) Then GoTo Nextn '排列中有重复元素，丢弃
Next
Loop
End Sub
1）回溯法
回溯法通常是构造一颗生成树。以3个元素为例；树的节点有个数据，可取值是1、2、3。如果某个为0，则表示尚未取值。
初始状态是(0，0，0)，第1个元素值可以分别挑选1，2，3，因此扩展出3个子结点。用相同方法找出这些结点的第2个元素的可能值，如此反复进行，一旦出现新结点的3个数据全非零，那就找到了一种全排列方案。当尝试了所有可能方案，即获得了问题的解答。
程序代码如下：
Private Sub Remo(p() As Integer, ByVal k As Integer)
OutL p
For i = 1 To n
p(k) = i
For j = 1 To k - 1
End If
Next
If Not b Then Remo, k + 1
End If
End Sub
2）递归算法
如果用P表示n个元素的排列，而Pi表示不包含元素i的排列，(i)Pi表示在排列Pi前加上前缀i的排列，那么，n个元素的排列可递归定义为：
如果n=1，则排列P只有一个元素i
如果n>1，则排列P由排列(i)Pi构成（i=1、2、....、n-1）。
根据定义，容易看出如果已经生成了k-1个元素的排列，那么，k个元素的排列可以在每个k-1个元素的排列Pi前添加元素i而生成。例如2个元素的排列是 1
程序代码如下：
Private Sub Recu(p() As Integer, ByVal k As Integer)
OutL p
For i = k To n
Next
End Sub
3）循环移位法
程序代码如下：
Private Sub Cycl(p() As Integer,ByVal k As Integer)
If k > n Then
Else
t = p(1)
For j = 2 To k
p(j - 1) = p(j)
Next
p(k) = t
Cycl
End If
End Sub
题目：1~n的全排列
思想：（字典序法）初始化数组为1,2,3,...,n作为开端；设法从后续排列中找到大于前次结果但小于其他结果的序列；依此找出这样的序列（后面序列肯定大于前面序列），则最后一个序列肯定是n,...,3,2,1
步骤：
- 假设情景：找“*243”该序列的下一个后续序列
- 从后往前找，找到这样一个数，它后面的数更大，（即找到"*24*"，取2作为当前数，下标为i）
- 在“2”的后面，找到最接近2且比2大的数，这里找到“3”（下标为j）
- 调换a[i]和a[j]的值
- 对a[i+1]……a[n-1]进行转置
- 此时数组a中的数就是所求后续序列
- 从1,2,3,...,n依此求出后续序列（即重新进行上面步骤），一直找到i=0且a[0]>a[1]则算法结束，全排列已全部给出。
三思：
- 怎么保证后面的序列比前面的大？首先开端是序列中最小的，i后面的部分是倒叙排列的，再对调（保证了大于前面序列）后，对i后面的进行逆置，保证了自身是后续排列中最小的，所以小于前面大于后面，依此递增，直到n,...,3,2,1算法结束。
- 该算法要给一个开端，对于求“142”全排列这种情况，是不是还需要进行先排序得到“124”后再处理？
- 该算法对调操作频繁，还有转置操作，相比较于递归调用函数，时间更少了，但心里不是滋味。
- 处理"1223"这种情况又怎样？递归方法不能处理，但这种方法可以处理。
- 对于字符排序"abc","abb"这两种情况，貌似与数字排序"123","122"一样，反正字符也可以比较大小，所以这两种情况也可以得到解决。
其他：头文件#include<algorithm>提供字典序法求后续序列的函数为next_permutation(_, _)。
代码：
#include <iostream>using namespace std;const int MaxNum=9;int iArr[MaxNum];int count;inline void printArr(int n)//打印数组，n为元素的总个数{int i;for(i=0;i<n;i++)cout<<iArr[i];cout<<endl;count++;}inline void Swap(int i,int j)//调换iArr[i]与iArr[j]的值{int temp=iArr[i];iArr[i]=iArr[j];iArr[j]=temp;}void Transpose(int k,int m)//把数组下标为k~m的数转置{int i,j;for(i=k,j=m;j>i;i++,j--)Swap(i,j);}int FullArray2(const int n)//对1~n进行全排列{if(1==n){cout<<"1"<<endl;count++;return 1;}//特殊情况n=1int i,j;while(1){printArr(n);for(i=n-2;i>=0;i--){//要求n>=2if(iArr[i]<iArr[i+1])break;//先求iif(0==i)return 1;//函数出口：当i=0且iArr[0]>iArr[1]时，函数结束}for(j=n-1;j>i;j--){if(iArr[i]<iArr[j])break;//后求j}Swap(i,j);//调换iArr[i]与iArr[j]的值Transpose(i+1,n-1);//把i后面的数转置}}void main(){int i,n;while(1){system("cls");count=0;//测试新用例时,count重新置0cout<<"请输入n（最大为9）：";cin>>n;if(n>MaxNum || n<1){cout<<"Error: n的值在设定值范围之外"<<endl;break;}for(i=0;i<n;i++)iArr[i]=i+1;//由于FullArray2上一次调用完，不会把调换的元素调整回来，故每次调用FullArray2前都要对数组进行重新初始化，即这条语句不能放在while循环外。FullArray2(n);cout<<"1~"<<n<<"的全排列的个数："<<count<<endl;system("pause");}}
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