【HDOJ 5838】Mountain（局部极小值）

【HDOJ 5838】Mountain（局部极小值）

Mountain

Time Limit: 3000/1500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)

Problem Description

Zhu found a map which is a N * M rectangular grid.Each cell has a height and there are no two cells which have the same height. But this map is too old to get the clear information,so Zhu only knows cells which are valleys.

A cell is called valley only if its height is less than the heights of all its adjacent cells.If two cells share a side or a corner they are called adjacent.And one cell will have eight adjacent cells at most.

Now give you N strings,and each string will contain M characters.Each character will be ‘.’ or uppercase ‘X’.The j-th character of the i-th string is ‘X’ if the j-th cell of the i-th row in the mountain map is a valley, and ‘.’ otherwise.Zhu wants you to calculate the number of distinct mountain maps that match these strings.

To make this problem easier,Zhu defines that the heights are integers between 1 and N*M.Please output the result modulo 772002.

 

Input

The input consists of multiple test cases.

Each test case begins with a line containing two non-negative integers N and M. Then N lines follow, each contains a string which contains M characters. (1≤N≤5,1≤M≤5).

 

Output

For each test case, output a single line “Case #x: y”, where x is the case number, starting from 1. And y is the answer after module 772002.

 

Sample Input

2 4.X.....X4 2X.....X.1 2XX

 

Sample Output

Case #1: 2100Case #2: 2520Case #3: 0

 

Author

UESTC

 

Source

2016中国大学生程序设计竞赛 - 网络选拔赛

题目大意：
一张n*m的地图。
每个点代表一个山/谷，高度为1 ~ n*m，要求两两高度不同。

图上’.’表示山峰，’X’表示沟谷
沟谷必须比四周八个位置都低。
山峰至少比四周八个位置中的一个高。
问给每个点标一个高度，满足上面要求的所有方案数。

bzoj原题也是够了= =不能说赛时他们贴代码，只怪自己刷题不够全
感觉这题做法非常妙。昨晚理解到刚刚才突然恍然大悟。

首先先考虑让’X’满足要求。
因为’X’最多9个
所以可以把沟谷的选择状态二进制压缩一下。
不负责任抛转移方程：
dp[i][j]=dp[i−1][j]C1cntj−i+1+∑k∈jdp[i−1][j−k]

下面来解释一下。
dp[i][j]表示沟谷的标记状态为j（1为该位置已设置高度 0表示未设置高度）1 ~ i高度已用的合法方案数。
cntj表示j状态下已标记的沟谷和所有可标记（周围沟谷已标记）的山峰的数量。在dp前可以预处理出来。

因为1 ~ i-1高度标给了j状态下的沟谷和可标记的一些山峰，这样cntj−i+1其实就是j状态下可标记且未标记的山峰，他们都可以标为i高度。

上面统计了山峰的标法。那么j状态下的沟谷标i的方案数是多少？
∑k∈jdp[i−1][j−k]表示的是选择j状态下任意一个沟谷，标为i的方案数。
这里保证方案都合法的证明我想了好一阵。
因为dp数组要求记录的都是合法方案数，那么假设对于一个沟谷k∈j （这里k为沟谷的二进制），dp[i−1][j−k]表示的是沟谷为j-k状态时，1 ~ i-1高度已用的合法方案数。那么既然k沟谷此状态下未标记，那么与它相关联的山峰肯定也未标记！这在统计cnt数组的时候保证了。那么就可以放心给它标高度i了。

这样通过dp就可以统计出X位置为沟谷的合法方案数。

但这里的合法只保证了沟谷合法，但可能一些山峰会变成沟谷，搜一下这些情况，然后容斥排除一下，最终答案就是合法的方案数。

代码如下：

#include <iostream>#include <cmath>#include <vector>#include <cstdlib>#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#include <stack>#include <list>#include <algorithm>#include <map>#include <set>#define LL long long#define Pr pair<int,int>#define fread(ch) freopen(ch,"r",stdin)#define fwrite(ch) freopen(ch,"w",stdout)using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int msz = 10000;const int mod = 772002;const double eps = 1e-8;int dir[2][9] = {{ 0, 0, 1,-1, 1,-1, 1,-1, 0},                 { 1,-1, 0, 0, 1,-1,-1, 1, 0}};char mp[10][10];bool vis[10][10];Pr pr[9];int cnt[1<<9],dp[66][1<<9];int tp,n,m;//判断是否越界bool in(int x,int y){    return 0 <= x && x < n && 0 <= y && y < m;}int cal(){    tp = 0;    //找出沟谷    for(int i = 0; i < n; ++i)        for(int j = 0; j < m; ++j)            if(mp[i][j] == 'X')            {                pr[tp].first = i;                pr[tp++].second = j;            }    //沟谷状压    int tot = 1<<tp;    int k;    memset(cnt,0,sizeof(cnt));    //统计每个状态下已标记沟谷+可标记山峰数量    for(int s = 0; s < tot; ++s)    {        memset(vis,0,sizeof(vis));        for(int i = 0; i < tp; ++i)            if(!(s&(1<<i))) vis[pr[i].first][pr[i].second] = 1;        for(int i = 0; i < n; ++i)            for(int j = 0; j < m; ++j)            {                for(k = 0; k < 9; ++k)                    if(in(i+dir[0][k],j+dir[1][k])                    && vis[i+dir[0][k]][j+dir[1][k]]) break;                if(k == 9) cnt[s]++;            }    }    dp[0][0] = 1;    for(int i = 1; i <= n*m; ++i)    {        for(int s = 0; s < tot; ++s)        {            dp[i][s] = (dp[i-1][s]*max(cnt[s]-i+1,0))%mod;            for(int j = 0; j < tp; ++j)            {                if(s&(1<<j))                {                    dp[i][s] = (dp[i][s]+dp[i-1][s-(1<<j)])%mod;                }            }        }    }    return dp[n*m][tot-1];}int ans;//判断初始地图是否合法（沟谷不相邻）bool can(){    for(int i = 0; i < n; ++i)        for(int j = 0; j < m; ++j)        {            if(mp[i][j] == '.') continue;            for(int k = 0; k < 8; ++k)            {                if(!in(i+dir[0][k],j+dir[1][k])) continue;                if(mp[i+dir[0][k]][j+dir[1][k]] == 'X') return false;            }        }    return true;}//容斥void dfs(int x,int y,int cnt){    if(x == n)    {        ans = ((ans+cal()*(cnt&1? -1: 1))%mod+mod)%mod;        return;    }    if(y == m)    {        dfs(x+1,0,cnt);        return;    }    dfs(x,y+1,cnt);    //如果是山峰，并且可能被当做沟谷，需排除。    if(mp[x][y] == '.')    {        for(int i = 0; i < 8; ++i)            if(in(x+dir[0][i],y+dir[1][i])            && mp[x+dir[0][i]][y+dir[1][i]] == 'X') return;        mp[x][y] = 'X';        dfs(x,y+1,cnt+1);        mp[x][y] = '.';    }}int main(){    //fread("");    //fwrite("");    int z = 1;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        printf("Case #%d: ",z++);        for(int i = 0; i < n; ++i)            scanf("%s",mp[i]);        if(!can())        {            puts("0");            continue;        }        ans = 0;        dfs(0,0,0);        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}