编辑距离

编辑距离

输入

第1行：字符串a(a的长度 <= 1000)。
第2行：字符串b(b的长度 <= 1000)。

输出

输出a和b的编辑距离（将串a与b变为相同的字符串需要的操作步数）

输入示例

kitten
sitting

输出示例

3

这个问题之所以难，是难在有“添加”“删除”这样的操作，很麻烦。我们试试换个角度理解问题，把它看成字符串对齐的问题，事实上从生物信息学对比基因的角度，我们可以这样理解问题。

给定字符串S和T，我们可以用一种特殊字符促成两个字符串的对齐。我们加的特殊字符是“-”, 我们允许在S和T中任意添加这种特殊字符使得它长度相同，然后让这两个串“对齐”，最终两个串相同位置出现了不同字符，就扣1分，我们要使得这两个串对齐扣分尽量少。

对于例子 我们实际上采取了这样的对齐方式：

12345
ABCF-
DB-FG

注意：如果要对齐，两个“-”相对是没有意义的，所以我们要求不出现这种情况。
那么看一下：
(1) S,T对应位置都是普通字符，相同，则不扣分。 例如位置2，4
(2) S,T对应位置都是普通字符，不同，则扣1分。 例如位置1
(3) S在该位置是特殊字符，T在该位置是普通字符，则扣1分，例如位置5
(4) S在该位置是普通字符，T在该位置是特殊字符，则扣1分，例如位置3

我们来看看扣分项目对应什么？

(1) 不扣分，直接对应
(2) 对应把T中对应位置的字符修改
(3) 对应在T中删除该字符
(4) 对应在T中添加该字符

好了，目标明确，感觉像不像 LCS？我们尝试一下：
设f(i,j)表示S的前i位和T的前j位对齐后的最少扣分。

那我们来看看最后一位，对齐的情况

(1) 必须S[i] == T[j], 这时前i – 1和j – 1位都已经对齐了，这部分肯定要最少扣分。这种情况下最少的扣分是f(i-1,j-1)
(2) 和（1）类似，S[i]≠T[j]，这种情况下最少的扣分是f(i -1, j – 1) + 1
(3) S的前i位和T的前（j – 1）位已经对齐了，这部分扣分也要最少。这种情况下最少的扣分是f(i,j-1) + 1
(4) S的前(i-1)位已经和T的前j位对齐了，这部分扣分要最少。这种情况下最少的扣分是f(i-1,j) + 1

具体f(i,j)取什么值，显然是要看哪种情况的扣分最少。

为了方便，我们定义函数same(i,j)表示如果S[i] == T[j]则为0，否则为1。

我们来表示一下递推式：

f(i,j) = min(f(i – 1, j – 1) + same(i,j), f(i – 1,j ) + 1, f(i, j – 1) + 1)

初值是什么？

f(0, j) = j
f(i, 0) = i

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;char a[1010];char b[1010];int same[1010][1010];int dp[1010][1010];int lena,lenb;void init(){for(int i=0;i<=lena;i++){for(int j=0;j<=lenb;j++){dp[0][j]=j;dp[i][0]=i;if(a[i]==b[j])same[i][j]=0;elsesame[i][j]=1;}}}int main(){memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));memset(dp,0,sizeof(dp));memset(same,-1,sizeof(same));scanf("%s%s",a+1,b+1);//这样输入是为了让字符串的下标从1开始； a[0]='0',b[0]='0';//这里好好体会，a【0】，b【0】不参与编辑距离的计算，只是为了防止出现：输入的字符串长度为零（空串）； lena=strlen(a+1);lenb=strlen(b+1);//printf("%c %c",a[1],b[1]);init();for(int i=1;i<=lena;i++){for(int j=1;j<=lenb;j++){dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+same[i][j],min(dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j]+1));//状态转移方程 }}printf("%d\n",dp[lena][lenb]);return 0;}