PageRank简单实现中的一个错误

在我的一篇博客PageRank中，在5.1 算法实现中简单实现部分原本是有一个错误的。这个错误也体现出我当时对PageRank算法有理解上的偏差。

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这是个什么样的错误呢？是这样的：

简单实现中计算每个网页的PR值时使用的是最原始的方法，即下面的这个公式：

PR(pi)=α∑pj∈MpiPR(pj)L(pj)+(1−α)N

这个公式要求所有网页的PR值之和为1。而我原本的代码中给每个网页赋予的初始PR值的代码为：

page_rank = dict.fromkeys(nodes, 1.0)  # 给每个节点赋予初始的PR值

也就是说，我给出的初始PR值之和为5（例子中共有5个网页）。

犯这个错误的原因是我理解错了“与P0的选取无关”这句话。正确的理解应该是：“与P0的初始概率分布无关”。

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然而，我理解错了也还有另一个原因，那就是我原来的程序中不管给出的初始PR值是多少，最终的PR值都是一样的。现分析如下：

按照我原本的程序逻辑，我使用的公式应该是这样的，其中G为所有网页：

PR(pi)=α∑pj∈MpiPR(pj)L(pj)+(1−α)N∑pk∈GPR(pk)

而我却使用了最原始的公式，造成了：

每轮迭代，每个页面的PR值都减少了(1−α)N∗(上轮PR值总和−1)⇒每轮迭代，PR值总和都减少了(1−α)∗(上轮PR值总和−1)

现假设初始PR值总和为 A0，则有：

最开始，PR值总和为：A0第一轮迭代之后，PR值总和为：A1=A0−(1−α)(A0−1)=αA0+1−α以此类推，则有An=αAn−1+1−α⇒An−1=α(An−1−1)⇒An−1=αn(A0−1)⇒An=αn(A0−1)+1∵α<1∴limn→∞An=1

即不管初始PR值为多少，最终其和都将趋于1（若初始值之和小于1，用相似的方法可以证明）。也就是说，最终结果是一样的（因为最终趋于1之后就相当于以“PR值总和为1”的情况又开始了计算）。这一点在代码中也有体现：当PR值设置得很大的时候，需要迭代的次数也相应增大。

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总结：应该使用最上面的公式，同时初始PR值总和应该设置为1。