高斯消元模版

高斯消元的步骤：
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;const int maxn=105;int equ,var;//有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ-1，列数为var+1，分别为0到var.int a[maxn][maxn];int x[maxn];//解集.bool free_x[maxn];//判断是否是不确定的变元.int free_num;void Debug(){    puts("");    for(int i=0;i<equ;i++)    {        for (int j=0;j<var+1;j++)            cout<<a[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }    cout<<endl;}inline int gcd(int a, int b){    int t;    while(b!=0)    {        t=b;        b=a%b;        a=t;    }    return a;}inline int lcm(int a, int b){    return a*b/gcd(a,b);}//高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)int Gauss(void){    int i,j,k;    int ta,tb;    int LCM;    int temp;    int free_x_num;    int free_index;    // 转换为阶梯阵.    int col=0; // 当前处理的列.    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)    {   // 枚举当前处理的行.        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)//        Debug();        int max_r=k;//当前这列绝对值最大的行.        for(i=k+1;i<equ;i++)            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))                max_r=i;        if(max_r!=k)// 与第k行交换.            for(j=k;j<var+1;j++)                swap(a[k][j],a[max_r][j]);        if(a[k][col]==0)        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.            k--; continue;        }        for(i=k+1;i<equ;i++)        { //枚举要消去的行.            if(a[i][col]!=0)            {                LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));                ta=LCM/abs(a[i][col]),tb=LCM/abs(a[k][col]);                if(a[i][col]*a[k][col]<0) tb=-tb; // 异号的情况是两个数相加.                for (j=col;j<var+1;j++)                    a[i][j]=a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;            }        }    }//    Debug();    //运行完上面，k即为确定元的个数。    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a!=0).    for(i=k;i<equ;i++)// 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.        if(a[i][col])            return -1;    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.    // 且出现的行数即为自由变元的个数.    if(k<var)    {        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.        for(i=k-1;i>=0;i--)        {            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.            free_x_num=0; //用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.            for(j=0;j<var;j++)                if(a[i][j]&&free_x[j])                    free_x_num++,free_index=j;            if(free_x_num>1)                continue;//无法求解出确定的变元.            //说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.            temp=a[i][var];            for(j=0;j<var;j++)                if(a[i][j]&&j!=free_index)                    temp-=a[i][j]*x[j];            x[free_index]=temp/a[i][free_index]; // 求出该变元.            free_x[free_index]=0; // 该变元是确定的.        }        return var - k; // 自由变元有var - k个.    }    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.    for(i=var-1;i>=0;i--)    {        temp=a[i][var];        for (j=i+1;j<var;j++)            if(a[i][j])                temp-=a[i][j]*x[j];        if (temp%a[i][i])            return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.        x[i]=temp/a[i][i];    }    return 0;}int main(){    int i,j;    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)    {        memset(a, 0, sizeof(a));        memset(x, 0, sizeof(x));        memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.        for (i = 0; i < equ; i++)        {            for (j = 0; j < var + 1; j++)            {                scanf("%d", &a[i][j]);            }        }        //        Debug();        free_num = Gauss();        if (free_num == -1) printf("无解!\n");        else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");        else if (free_num > 0)        {            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);            for (i = 0; i < var; i++)            {                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        else        {            for (i = 0; i < var; i++)            {                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        printf("\n");    }}/* czyuan原创，转载请注明出处。*/

如果当所有元的解只有0，1两种情况时，可以通过异或来优化。
0x1 ＋ 0x2 ＋ 0x3 ＋ 0x4 = 0
0x1 ＋ 0x2 ＋ 0x3 ＋ 1x4 = 0
0x1 ＋ 1x2 ＋ 1x3 ＋ 0x4 = 0（0都代表偶数的意思，x有0，1）

0&x1 ^ 0&x2 ^ 0&x3 ^ 0&x4 = 0
0&x1 ^ 0&x2 ^ 0&x3 ^ 1&x4 = 0
0&x1 ^ 1&x2 ^ 1&x3 ^ 0&x4 = 0
这种通常用来解决开关问题
x[i]表示的是取与不取，0，1代表开关能控制的灯泡位置。
模版：

#include <cstdio>#include <bitset>#include <cmath>using namespace std;int x[32];bitset<32> A[32];void gao(){    int i,k;    for(k=0;k<30;k++)    {        i=k;        for(;i<30;i++)            if(A[i][k])                break;        swap(A[k],A[i]);        for(i=0;i<30;i++)            if(k!=i&&A[i][k])                A[i]^=A[k];    }    //k即为矩阵的秩    for(i=0;i<30;i++)        x[i]=A[i][30];//即为解}