1073 约瑟夫环

1073 约瑟夫环

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题

N个人坐成一个圆环（编号为1 - N），从第1个人开始报数，数到K的人出列，后面的人重新从1开始报数。问最后剩下的人的编号。

例如：N = 3，K = 2。2号先出列，然后是1号，最后剩下的是3号。

Input

2个数N和K，表示N个人，数到K出列。(2 <= N, K <= 10^6)

Output

最后剩下的人的编号

Input示例

3 2

Output示例

3

解法介绍：

递归：

约瑟夫环的数学优化方法为：
        为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
      我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: 　　   k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 　　并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：
      k --> 0 　　k+1 --> 1 　　k+2 --> 2
       n-1 --> n-1-k     0--> n-k   
        ... ... 　　
     k-3 --> n-3 　　k-2 --> n-2
     序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n
     序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n
     序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1 　　
     序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1 　　
      变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：
   　∵ k=m%n; 　　
       ∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
       ∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 　　得到 x‘=(x+m)%n
        如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
      令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].
      递推公式: 　　f[1]=0; 　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int n,k,i;int main(){scanf("%d%d",&n,&k);if(k==1){printf("%d\n",n);return 0;}int s=0;for(i=2;i<=n;i++){s=(s+k)%i;}printf("%d\n",s+1);return 0;}