等价、偏序和全序
来源:互联网 发布:java 枚举接口 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 21:36
全序集是任意两个元素都可以比较的偏序集。
- 序的存在可对应一些特殊的物理意义,比如时间上的先后关系;
良序集(well order)是任意非空子集都有最小元的全序集。
1. 等价
设
- 自反性:
∀x∈A, xRx - 对称性:
∀x,y∈A, xRy ⟹ yRx - 传递性:
∀x,y,z∈A, (xRy ∧ yRz) ⟹ xRz
称 R 是一个定义在 A 上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由
例如,设
其中
不是所有的二元关系也是等价关系。一个简单的反例子是比较两个数中哪个较大:
- 没有自反性:任何一个数不能比自身为较大 (
n≯n ) - 没有对称性:如果
m>n ,就肯定不能有n>m
2. 偏序(partial order)
设 A 是一个非空集,P 是 A 上的一个关系,若关系P是自反的、反对称的、和传递的,则称P是集合A上的偏序关系。
即P适合下列条件:
- (1)对任意的a∈A,(a,a)∈P;
- (2)若(a,b)∈P且(b,a)∈P,则a=b;
- (3)若(a,b)∈P,(b,c)∈P,则(a,c)∈P,
则称 P 是 A 上的一个偏序关系。
带偏序关系的集合 A 称为偏序集或半序集。
若P是A上的一个偏序关系,我们用a≤b来表示(a,b)∈P。
举如下例子说明偏序关系:
- 1、实数集上的小于等于关系是一个偏序关系。
- 2、设 S 是集合,P(S)是 S 的所有子集构成的集合,定义 P(S)中两个元素 A≤B 当且仅当 A 是 B 的子集,即 A 包含于 B,则P(S)在这个关系下成为偏序集。
- 3、设 N 是正整数集,定义 m ≤ n 当且仅当m能整除n,不难验证这是一个偏序关系。注意它不同于N上的自然序关系。
偏序是在集合 P 上的二元关系(≤),它是自反的、反对称的、和传递的,就是说,对于所有 P 中的 a, b 和 c,有着:
- a ≤ a (自反性);
- 如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性);
- 如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)。
3. 全序(total order)
在集合
4. 举例
如下,两幅有向图:
边
- 左图表示偏序,
v2 和v3 不存在关系; - 右图正是加上了一条
v2 指向v3 的边,才成为正序;
0 0
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