【NOI2007】货币兑换

今天听了crazy和samjia的NOI杂（砸）题选讲，感觉自己萌萌哒~
于是就来怡情地写了这道题。

Description

额(⊙o⊙)…，这个不好说啊。（语文不好不好裱我）
还是贴图吧。


n<=10^5

Solution

咳咳，希望大家都看懂题了。
一个很明显的贪心思路就是，我们每天要不全买，要不全卖。
因为一有利益我们就去占，一有亏损我们就不碰。
那么我们可以有dp方程：

F[i]=max(x[j]∗a[i]+y[j]∗b[i],F[i−1])

因为你一天可以什么都不淦。
其中x[i]表示第i天最多能获得的A卷数量，y[i]表示B卷数量。
那么

x[i]=F[i]/(A[j]∗Rate[j]+B[j])∗Rate[j]

y[i]=F[i]/(A[j]∗Rate[j]+B[j])

这样Dp是N^2的，我们考虑优化。
设j是最优决策，那么

F[i]=x[j]∗a[i]+y[j]∗b[i]

于是

y[j]=−a[i]b[i]x[j]+F[i]b[i]

发现这是一次函数的形式。我们想让截距最大。
于是我们可以维护一个凸包，因为斜率一定，使截距最大的点一定在凸包上。
以x为x轴，y为y轴建立平面直角坐标系。
但是，x[i]和-a[i]/b[i]不见得单调。
所以我们就是要动态维护一个凸包，然后求某个斜率的位置。
splay大法好！splay大法好！splay大法好！
你每次找到i左边最后一个斜率使得它仍然递增的点，和右边第一个使得它递增的的点。
然后删点就好了。不要忘了判断加上这个点后是否还是凸包。

Code

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define N 100005using namespace std;typedef double db;const db inf=0x7fffffff;const db ep=1e-5;int n,fa[N],t[N][2],root;db f[N],x[N],y[N],a[N],b[N],r[N],lk[N],rk[N];int son(int x) {    if (t[fa[x]][0]==x) return 0;else return 1;}void rotate(int x) {    int y=fa[x],z=son(x);fa[x]=fa[y];    if (fa[y]) t[fa[y]][son(y)]=x;    if (t[x][1-z]) fa[t[x][1-z]]=y;    fa[y]=x;t[y][z]=t[x][1-z];t[x][1-z]=y;}void splay(int x,int y) {    while (fa[x]!=y) {        if (fa[fa[x]]!=y)            if (son(x)==son(fa[x])) rotate(fa[x]);            else rotate(x);        rotate(x);    }    if (!y) root=x;}void insert(int &v,int f,int id) {    if (!v) {v=id;fa[v]=f;splay(v,0);return;}    if (x[id]<=x[v]+ep) insert(t[v][0],v,id);    else insert(t[v][1],v,id);}db getk(int i,int j) {    if (abs(x[j]-x[i])<ep) return -inf;    else return ((y[j]-y[i])/(x[j]-x[i]));}int pre(int x) {    int y=t[x][0],z=x;    while (y)        if (getk(y,x)<=lk[y]+ep) z=y,y=t[y][1];        else y=t[y][0];    return z;}int suc(int x) {    int y=t[x][1],z=x;    while (y)        if (getk(x,y)+ep>=rk[y]) z=y,y=t[y][0];        else y=t[y][1];    return z;}void updata(int x) {    splay(x,0);    if (t[x][0]) {        int left=pre(x);splay(left,x);t[left][1]=0;        lk[x]=rk[left]=getk(left,x);    } else lk[x]=inf;    if (t[x][1]) {        int right=suc(x);splay(right,x);t[right][0]=0;        rk[x]=lk[right]=getk(x,right);    } else rk[x]=-inf;    if (lk[x]<=rk[x]+ep) {        root=t[x][0];t[root][1]=t[x][1];        fa[t[x][1]]=t[x][0];fa[x]=0;        rk[root]=lk[t[root][1]]=getk(root,t[root][1]);    }}int find(int v,db k) {    if (!v) return 0;    if (lk[v]+ep>=k&&k+ep>=rk[v]) return v;    if (k>lk[v]) return find(t[v][0],k);    else return find(t[v][1],k);}int main() {    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);    fo(i,1,n) scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&r[i]);    fo(i,1,n) {        int j=find(root,-a[i]/b[i]);        f[i]=max(f[i-1],x[j]*a[i]+y[j]*b[i]);        y[i]=f[i]/(a[i]*r[i]+b[i]);        x[i]=y[i]*r[i];        insert(root,0,i);        updata(i);    }    printf("%.3lf",f[n]);}