欧拉函数

一、 定义：      欧拉函数ϕ(n)定义为不超过n且和n互质的正整数的个数。

二、如果P是素数，那么ϕ(p)=p−1.反之，如果p是正整数且满足ϕ(p)=p−1，那么p是一个素数

三、如果P是素数，那么 ϕ( p  n     )=p n  − p  n−1

       证明 ： 从 1 到 p^n 总共有 p^n 个数，其中只有1*p，2*p，3*p……与p不互质 , 结论易知。

四、欧拉函数是积性函数 ， 设m,n是两个互质的正整数，那么ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)

证明：我们将这mn个数展开写出来

1  m+1 2m+1 ... (n−1)m+1
2  m+2 2m+2 ... (n−1)m+2
...
r  m+r 2m+r ... (n−1)m+r
...

m  2m  3m     ...        nm

先按行来考虑，第 r 行如果要和m互素的话，r 和 m 必须互素 ， 不然的话 k * m + r 必然和 m 有一个大于1的最大公约数。由此可知，在这 mn 个元素中，之多只能存在ϕ（m）行存在元素和 mn 互素。

再考虑这些行中的元素与 n 的关系，有这样一个引理 ，若X是模n的完全剩余系，若 a 和 n 互质，那么 a * X + b 还是 n 的一个完全剩余系，由完全剩余系的性质可以知道这其中只有ϕ（n）个数和 n 互素。

由行列的结果相乘则可得到最终的结论。

【注】本篇文章在创作时参考了这篇文章的部分内容 

http://zhengyidong.me/2014/11/积性函数系列（一）：欧拉函数/