CF 702F T-shirt 奇怪的平衡树维护+超强复杂度证明

来源：互联网发布：软件接口测试视频教程编辑：程序博客网时间：2024/06/05 06:52

题目大意

给定N件T-shirt，每件T-shirt有一个Qi,Ci表示花费和价值。现在我们的选择策略是这样的：把价值从大到小排序，价值相同的把花费从小到大排序，对于拥有的初始金钱，我们按排序后的数组从前往后尽量取T-shirt，收益就是取的T-shirt的数目。现在有M组询问，每组询问有个初始金钱Bi，问你每组询问的收益。

N，M≤2∗105
Bi,Ci,Qi≤109

解题思路

一拿到题，我们发现一组一组的询问去做根本无从下手，复杂度根本过不去。那么我们就考虑吧所有询问一起做。

我们把所有的询问扔到一颗平衡树里面，最暴力的思想就是把T-shirt从前往后枚举，我们可以的到可以买这件T-shirt的区间，我们把这个区间的没个数减去Ci然后把平衡树重构。这样显然是会超时的，因为重构平衡树实在是太慢了……但是我们知道可持久化treap合并两个平衡树的复杂度是log的，但是要保证一颗平衡树的最小值比另一颗平衡树的最大值大。那么我们就可以把原来的平衡树分成减了Ci和没减Ci两个部分，我们想用可持久化treap合并，假定我们要保证前一部分的最小值大于后一部分的最大值，我们就可以把不符合的数先暴力加入另一颗，然后再整体合并。这复杂度会超？其实可以证明不会！

首先可持久化treap合并的复杂度是O(NlogM)是没问题的，关键是暴力插入的那一部分。那么我们就来算一下它的复杂度：

我们设后半部分（即没减Ci的部分）的最大值是a，前半部分（即减了Ci的部分）其中一个数是b，Ci表示为c。假设b要暴力插入，那么有以下几条式子：
a<c
b−c<a
即
b<2c，b2<c

什么意思？就是说没每次出现b要暴力插入时，减去的Ci至少为b2就是说最多插入log次！那么包里插入的复杂度就是O(MlogBilogM)，所以总的复杂度是O((NlogM+MlogBilogM)时限是4s，完全可以跑的过！

程序

由于这题没打，附上Philipsweng的程序！

#include <cstring>#include <algorithm>#define fe first#define se secondusing namespace std;const int MAXN = 200005;typedef pair<int,int> P;struct Node{    int l,r,cnt,t_c,t_v;    int key,val,siz;}T[MAXN];struct Shirt{    int pr,qu;    bool operator <(const Shirt &a) const    {        return qu > a.qu || qu == a.qu && pr < a.pr;    }}A[MAXN];int B[MAXN],root,N,M;int Get_Rand(){    return rand() * rand();}void Update(int nt){    T[nt].siz = T[T[nt].l].siz + T[T[nt].r].siz + 1;}void Mark(int nt,int t_c,int t_v){    if (!nt) return;    T[nt].cnt += t_c,T[nt].val += t_v;    T[nt].t_c += t_c,T[nt].t_v += t_v;}void Down(int nt){    if (!nt) return;    Mark(T[nt].l,T[nt].t_c,T[nt].t_v),Mark(T[nt].r,T[nt].t_c,T[nt].t_v);    T[nt].t_c = T[nt].t_v = 0;}int Merge(int a,int b){    if (!a || !b) return a ^ b;    Down(a),Down(b);    if (T[a].key > T[b].key)     {        T[a].r = Merge(T[a].r,b);        Update(a);        return a;    }    T[b].l = Merge(a,T[b].l);    Update(b);    return b;}P Split(int root,int siz){    if (!siz) return P(0,root);    Down(root);    if (siz <= T[T[root].l].siz)    {        P tmp = Split(T[root].l,siz);        T[root].l = tmp.se;        Update(root);        return P(tmp.fe,root);    }    P tmp = Split(T[root].r,siz - T[T[root].l].siz - 1);    T[root].r = tmp.fe;    Update(root);    return P(root,tmp.se);}int Min(int nt){    for(;T[nt].l;)    {        Down(nt);        nt = T[nt].l;    }    return nt;}int Max(int nt){    for(;T[nt].r;)    {        Down(nt);        nt = T[nt].r;    }    return nt;}void MoveL(int &nt){    if (!T[nt].l)    {        Down(nt);        int r = T[nt].r;        T[nt].r = 0;        Update(nt);        nt = r;        return;    }    static int Stk[MAXN];    int top = 0,bak = nt;    for(;nt;) Stk[++ top] = nt,Down(nt),nt = T[nt].l;    int p = Stk[top];       nt = Stk[top - 1];    if (p) T[nt].l = T[p].r,T[p].r = 0,Update(p),Update(nt);    for(;top;top --) Update(Stk[top]);    nt = bak;}void Insert(int &root,int nt){    int siz = 0;    for(int j = root;j;)    {        Down(j);        if (T[nt].val <= T[j].val) j = T[j].l; else            if (T[nt].val > T[j].val) siz += 1 + T[T[j].l].siz,j = T[j].r;    }    P cur = Split(root,siz);    root = Merge(Merge(cur.fe,nt),cur.se);}void Dfs(int root){    if (!root) return;    Down(root);    Dfs(T[root].l),Dfs(T[root].r);}int main(){    scanf("%d", &N);    for(int i = 1;i <= N;i ++)        scanf("%d%d", &A[i].pr, &A[i].qu);    sort(A + 1,A + N + 1);    scanf("%d", &M);    for(int i = 1;i <= M;i ++)        scanf("%d", &B[i]);    for(int i = 1;i <= M;i ++) T[i].key = Get_Rand(),T[i].val = B[i],T[i].siz = 1;    for(int i = 1;i <= M;i ++) Insert(root,i);    for(int i = 1;i <= N;i ++)    {        int siz = 0;        for(int j = root;j;)        {            Down(j);            if (A[i].pr <= T[j].val) j = T[j].l; else                if (A[i].pr > T[j].val) siz += 1 + T[T[j].l].siz,j = T[j].r;        }        P cur = Split(root,siz);        Mark(cur.se,1,-A[i].pr);        for(int p,q;(p = Min(cur.se)) && (q = Max(cur.fe)) && T[p].val < T[q].val;)        {            MoveL(cur.se);            Insert(cur.fe,p);        }        root = Merge(cur.fe,cur.se);    }    Dfs(root);    for(int i = 1;i <= M;i ++)        printf("%d%c", T[i].cnt, i == M ? '\n' : ' ');    return 0;}

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