最大子段和(分治与动态规划典例)

最大子段和

 

问题： 给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n 例如，当（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

最大子段和是动态规划中的一种。

目录

1. 1 分治法
2. 2 动态规划法

分治法

编辑

算法描述如下

针对最大子段和这个具体问题本身的结构，我们还可以从算法设计的策略上对上述O(n^2)计算时间算法进行更进一步的改进。从问题的解结构也可以看出，它适合于用分治法求解。

如果将所给的序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种情况：

（1） a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同

（2） a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同

（3） a[1:n]的最大子段和为a[i]+…+a[j]，并且1<=i<=n/2，n/2+1<=j<=n。

对于（1）和（2）两种情况可递归求得，但是对于情况（3），容易看出a[n/2]，a[n/2+1]在最大子段中。因此，我们可以在a[1:n/2]中计算出s1=max(a[n/2]+a[n/2-1]+…+a[i]),0<=i<=n/2，并在a[n/2+1:n]中计算出s2= max(a[n/2+1]+a[n/2+2]+…+a[i])，n/2+1<=i<=n。则s1+s2为出现情况（3）的最大子段和。据此可以设计出最大子段和问题的分治算法如下：

时间复杂度：O（NlogN）

1

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3

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#include<stdio.h>

#define MAX 100

int maxsub(int left,int right);

int a[MAX];

int main()

{

    inti;

    int count;

    scanf("%d",&count);

    for(i=0;i<count;i++)

    {

        scanf("%d",&a[i]);

    }

    printf("%d/n",maxsub(0,count-1));

    return0;

}

int maxsub(int left,int right)

{

    int center,i;

    int sum,left_sum,right_sum;

    int left_max,right_max;

    center=(left+right)/2;

    if(left==right)//此处重要，递归出口

if(A[left]>0)

        return a[left];

else

return 0;

    else

    {

        left_sum=maxsub(left,center);

        right_sum=maxsub(center+1,right);

        sum=0;

        left_max=0;

        for(i=center;i>=left;i--)

        {

            sum+=a[i];

            if(sum>left_max)

                left_max=sum;

        }

        sum=0;

        right_max=0;

        for(i=center+1;i<=right;i++)

        {

            sum+=a[i];

            if(sum>right_max)

                right_max=sum;

        }

        sum=right_max+left_max;

        if(sum<left_sum)

            sum=left_sum;

        if(sum<right_sum)

            sum=right_sum;

    }

    returnsum;

}

动态规划法

编辑

在对于上述分治算法的分析中我们注意到，若记b[j]=max(a[i]+a[i+1]+..+a[j]),其中1<=i<=j,并且1<=j<=n。则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。

由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:

b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

代码如下：

时间复杂度：O(N)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

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#include <stdlib.h>

#include<stdio.h>

int main()

{

    int count;

    int a[100];

    int b[100];

    int i;

    int max;

    scanf("%d",&count);

    for(i=0; i<count; i++)

    {

        scanf("%d",&a[i]);

    }

    b[0]=a[0];

    max=b[0];

    for(i=1; i<count; i++)

    {

        if(b[i-1]>0)

            b[i]=b[i-1]+a[i];

        else

            b[i]=a[i];

        if(b[i]>max)

            max=b[i];

    }

    printf("%d\n",max);

    return 0;

}




联机算法：

常量空间，线性时间O(N)运行

int maxsubsequence(int array[],int n){    int thissum=0,maxsum=0;    for(int i=0;i<n;i++){        thissum+=array[i];        if(thissum<0)            thissum=0;        else if(thissum>maxsum)            maxsum=thissum;    }    return maxsum;}