棋盘覆盖（分治典例）

问题描述

在一个2^{^k}×2^{^k} 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

解题思路

分析：当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2^{^k-1}×2^{^k-1} 子棋盘(a)所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如 (b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。（出自算法设计与分析-王晓东）

实现：每次都对分割后的四个小方块进行判断，判断特殊方格是否在里面。这里的判断的方法是每次先记录下整个大方块的左上角（top left coner）方格的行列坐标，然后再与特殊方格坐标进行比较，就可以知道特殊方格是否在该块中。如果特殊方块在里面，这直接递归下去求即可，如果不在，这根据分割的四个方块的不同位置，把右下角、左下角、右上角或者左上角的方格标记为特殊方块，然后继续递归。在递归函数里，还要有一个变量s来记录边的方格数，每次对方块进行划分时，边的方格数都会减半，这个变量是为了方便判断特殊方格的位置。其次还要有一个变nCount来记录L型骨牌的数量。

#include<iostream>  using namespace std;  int tile=1;                   //L型骨牌的编号(递增)  int board[100][100];  //棋盘  /***************************************************** * 递归方式实现棋盘覆盖算法 * 输入参数： * tr--当前棋盘左上角的行号 * tc--当前棋盘左上角的列号 * dr--当前特殊方格所在的行号 * dc--当前特殊方格所在的列号 * size：当前棋盘的:2^k *****************************************************/  void chessBoard ( int tr, int tc, int dr, int dc, int size )  {      if ( size==1 )    //棋盘方格大小为1,说明递归到最里层          return;      int t=tile++;     //每次递增1      int s=size/2;    //棋盘中间的行、列号(相等的)      //检查特殊方块是否在左上角子棋盘中      if ( dr<tr+s && dc<tc+s )              //在          chessBoard ( tr, tc, dr, dc, s );      else         //不在，将该子棋盘右下角的方块视为特殊方块      {          board[tr+s-1][tc+s-1]=t;          chessBoard ( tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s );      }      //检查特殊方块是否在右上角子棋盘中      if ( dr<tr+s && dc>=tc+s )               //在          chessBoard ( tr, tc+s, dr, dc, s );      else          //不在，将该子棋盘左下角的方块视为特殊方块      {          board[tr+s-1][tc+s]=t;          chessBoard ( tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s );      }      //检查特殊方块是否在左下角子棋盘中      if ( dr>=tr+s && dc<tc+s )              //在          chessBoard ( tr+s, tc, dr, dc, s );      else            //不在，将该子棋盘右上角的方块视为特殊方块      {          board[tr+s][tc+s-1]=t;          chessBoard ( tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s );      }      //检查特殊方块是否在右下角子棋盘中      if ( dr>=tr+s && dc>=tc+s )                //在          chessBoard ( tr+s, tc+s, dr, dc, s );      else         //不在，将该子棋盘左上角的方块视为特殊方块      {          board[tr+s][tc+s]=t;          chessBoard ( tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s );      }  }    void main()  {      int size;      cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): ";      cin>>size;      int index_x,index_y;      cout<<"输入特殊方格位置的坐标: ";      cin>>index_x>>index_y;      chessBoard ( 0,0,index_x,index_y,size );      for ( int i=0; i<size; i++ )      {          for ( int j=0; j<size; j++ )              cout<<board[i][j]<<"/t";          cout<<endl;      }  }