火柴排队(树状数组求逆序对)
来源:互联网 发布:银行模拟软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 19:56
火柴排队
来源:
2013年NOIP全国联赛提高组
题目描述:
涵涵有两盒火柴,每盒装有 n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为:
,其中 ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度,bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?如果这个数字太大,请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入描述:
共三行,第一行包含一个整数 n,表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第二列火柴的高度。
输出描述:
输出共一行,包含一个整数,表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
样例输入:
[Sample 1]
4
2 3 1 4
3 2 1 4
[Sample 2]
4
1 3 4 2
1 7 2 4
样例输出:
[Sample 1]
1
[Sample 2]
2
数据范围及提示:
【样例1说明】
最小距离是 0,最少需要交换 1 次,比如:交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【样例2说明】
最小距离是 10,最少需要交换 2 次,比如:交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置,再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10%的数据, 1 ≤ n ≤ 10;
对于 30%的数据,1 ≤ n ≤ 100;
对于 60%的数据,1 ≤ n ≤ 1,000;
对于 100%的数据,1 ≤ n ≤ 100,000,0 ≤火柴高度≤ 2^31 - 1。
思路:
典型的数论题。给定了两列火柴(两个数列),根据题目要求,可将拆分为许多独立的个体:(a[i]-b[i])^2,拆开为:a^2+b^2-2ab,若使该式尽可能小,则2ab应尽可能大。那么下一步就考虑如何使a[i]*b[i]尽可能大,根据排序不等式:反序和≤乱序和≤同序和 可得:a[i]*b[i]按照“同序”的方式排列起来是最大的,那么什么是同序?举个例子:在有序数列1、2、3和有序数列4、5、6中,1*4,2*5,3*6就是同序,1*4+2*5+3*6就是同序和,所以应该先排序!那么目前的这个问题就解决了,那么解决这个问题是用来做什么的呢?答案是:找到一种两个数列之间的对应关系,求逆序对!使a中的第几大对应b中的第几大(这就是排序的目的),然后生成数列,在生成的数列中找出逆序对的个数,就是最终的答案了。
举个例子:
火柴a:1 2 4 3
火柴b:1 4 2 3
显然只需交换一步就出答案,答案为:1
如何得出:
把火柴a看为不动的,只移动火柴b。
排序之后:
火柴a为:1(1)、2(2)、3(4)、4(3),
同样b为:1(1)、2(3)、3(4)、4(2)。
(括号中的为该数字在原数列中的id)
然后以排序后a中元素的id为下标,b中元素的下标为元素,生成数列x
x[1]=1 x[2]=3 x[4]=4 x[3]=2
也就是:x[4]={1 3 2 4}
x中逆序对为{3,2},仅此一对,所以ans=1.
完成!
下面给出树状数组求逆序对的代码:
#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int mod=99999997;const int maxn=100010;struct node{ int id; int sum;}a[maxn],b[maxn];int la[maxn],lb[maxn];int n,ans,c[maxn],x[maxn];bool cmp(node x,node y){ return x.sum<y.sum;}int lowbit(int x){ return x&(-x);}void add(int x){ for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]++;}int getsum(int x){ int sum=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) sum=(sum+c[i])%mod; return sum%mod;}int main(){ cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].sum,a[i].id=i; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i].sum,b[i].id=i; sort(a+1,a+n+1,cmp); sort(b+1,b+n+1,cmp); for(int i=1;i<=n;i++)//找一种对应关系,生成数列x x[a[i].id]=b[i].id; for(int i=n;i>=1;i--)//求数列x中的逆序对个数,得出答案 { add(x[i]); ans=(ans+getsum(x[i]-1))%mod; } cout<<ans%mod; return 0;}
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