51nod区间的价值

题目描述

我们定义“区间的价值”为一段区间的最大值*最小值。
一个区间左端点在L，右端点在R，那么该区间的长度为(R-L+1)。
现在聪明的杰西想要知道，对于长度为k的区间，最大价值的区间价值是多少。
当然，由于这个问题过于简单。
我们肯定得加强一下。
我们想要知道的是，对于长度为1~n的区间，最大价值的区间价值分别是多少。
数据范围1<=n<=100000，1<=ai<=10^9，（由于某种不可抗力，ai的值将会是1~10^9内随机的一个数）

题目特别强调了ai的值是随机的，这就是在提示我们要考虑期望复杂度这种东西。
设一个数i可以跳到左边第一个小于它的数j，数j又可以跳到左边第一个小于它的数k，那么我们就称i可以跳到j和k，(性质1)那么一个数能够跳到的数的平均期望个数为log(n)(只向右跳也是一样)。
证明：
设f[i]表示数i能够跳到的数的期望个数，设ans[i]表示前i个数能够跳到的数的期望个数的平均值
因为数据随机，所以数i第一步跳到左边任意一个位置的概率相等，所以f[i]=∑i−1j=1f[j]+1i−1=ans[i−1]+1
而ans[i]=ans[i−1]∗(i−1)+f[i]i=ans[i−1]+1i
所以ans[n]=∑ni=11i
显然ans[n]<=log(n),得证。
另外，(性质2)对于长度为k的区间的最大价值一定大于等于长度为k+1的区间的最大价值(这个证明比较简单，这里就不解释了)。
利用这些性质，可以开始解这题了。
设l[i]表示i左边第一个小于它的数，r[i]表示i右边第一个小于它的数。
那么我们么，枚举一个最大值的位置i，那么还需要枚举一个最小值的位置j，然而怎样枚举j呢？
从i沿着l[i]跳来得到j，根据性质1，那么显然j的个数是log(n)的。
在那么包含i和j的最大区间为(l[j]+1,r[j]-1)(因为j是这个区间的最小值，所以r[j]-1>=i)。
可能有点疑惑，我们并不能保证a[i]是这个区间的最大值，但是对答案是没有错误影响的(即不会得到一个比正确答案还要大的答案)的，因此当i枚举到这个区间的最大值时，a[i]*a[j]>a[现在的i]*a[j]，答案会被更新。
每次只需更新最大区间的答案，因为性质2，我们可以最后在从大长度到小长度更新答案。
代码

代码

#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cmath>#define ll long long #define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)using namespace std;const int maxn=100000+5;int i,j,n,a[maxn],l[maxn],r[maxn];ll ans[maxn];int main(){    scanf("%d",&n);    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);    fo(i,1,n) {j=i-1;while (j&&a[j]>=a[i]) j=l[j];l[i]=j;}    fod(i,n,1) {j=i+1;while (j<=n&&a[j]>=a[i]) j=r[j];r[i]=j;}    fo(i,1,n) {        j=i;while (j) {            int len=r[j]-l[j]-1;            ans[len]=max(ans[len],(ll)a[i]*a[j]);j=l[j];        }        j=r[i];while (j<=n){            int len=r[j]-l[j]-1;            ans[len]=max(ans[len],(ll)a[i]*a[j]);j=r[j];        }    }    fod(i,n-1,1) ans[i]=max(ans[i],ans[i+1]);    fo(i,1,n) printf("%lld\n",ans[i]);}