Mercer定理

为了说明Mercer定理会涉及到很多的矩阵论相关的知识，再此需要提前简要说明，

1.酉矩阵：

n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。显然酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广

定义：

若一

  

行

  

列的复数矩阵

  

满足：

               

其中，

  

为

  

的共轭转置，

  

为

  

阶单位矩阵，则

  

称为酉矩阵。

性质和应用

设有矩阵

  

，则

（1）若

  

是酉矩阵，则

  

的逆矩阵也是酉矩阵；

（2）若

  

是酉矩阵，则

  

和

  

也是酉矩阵；

（3）若

  

是酉矩阵，则

  

；

（4）

  

是酉矩阵的充分必要条件是，它的

  

个列向量是两两正交的单位向量。

2.实对称矩阵

如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。

性质：

1).实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2).实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3).n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4).若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

3.埃尔米特矩阵

n阶复方阵A的对称单元互为共轭，即A的共轭转置矩阵等于它本身，则A是埃尔米特矩阵(Hermitian Matrix)。显然埃尔米特矩阵是实对称阵的推广。

A=A^H

4. 半正定矩阵

5.Mercer 定理：任何半正定的函数都可以作为核函数。