Proxies for Shortest Path and Distance Queries

这篇paper是马帅老师发在TKDE 2016的一篇paper。这篇paper主要的思路就是选取原图的一部分代理点（proxies）来保存原图的距离信息，来进一步加快最短路查询的速度。本文主要是翻译这篇paper以及对这篇paper的理解，细节性的东西请移步马老师的论文。

图的基本定义：

cut-node: 对于图中的一个点，如果把这个点移除会增加原图联通分支的数量，那么我们称这个点为cut-node。

BCC（bi-connectted components）: 如果一个子图的边集中，任何两条边都落在同一个cycle中的话，我们称这样的子图为BCC。文章中的例子可以注意到，如果只有一条边的子图也可以算是一个BCC，因为没有两条边，所以上述的条件也是满足的，是一个特殊的例子。

代理点的定义：（Routing proxies）

当一个点u满足下列三个条件时，我们称这样的点为一个点集A的代理点：

1. 对于A中的任何一个点，都可以到达A中其他的任何点。（保证连通性）
2. 对于A中除了代理点u以外的任何点v，v的邻居也在A当中。（保证邻居都在A当中，但是并不要求代理点的邻居都在A当中）
3. |A|的大小不超过一个阈值 T。（A如果太大，选的代理点代理的范围太大，那么这样的代理意义就不是太大）

代理区域（DRA）：

         对于某个代理点u，可以代理多个点集A1,A2,A3,...,An，我们把所有代理的点集合并在一起称为一个代理区域（DRA）。每个Ai代表DRA的一个分量，这里需要注意二者的区别。

最大代理点（Maximal Proxies）我们称一个代理点u是极大的当没有其他的代理点u'的DRA比u的DRA更大。

关于DRA的几个性质：

1. 如果没有第三个大小条件限制的话，图中每个点u都是原图的一个极大代理点，而且每个点的代理区域DRA都恰好是u所属的联通分支。
2. 任何代理点在原图都有唯一的DRA。
3. 如果点u在u'的DRA中的话，那么u的DRA是u'的DRA的子集。如果u’和u不在彼此的DRA中的话，那么u'和u的DRA交集为空。
4. 对于u的DRA中的两点v和v’，他们在u的DRA中的最短路径或者最短距离和在原图当中的是一致的。
5. 对于两个代理点x和y，以及x的DRA中的点v，y的DRA中的点u，path(v,u)=path(v,x)+path(x,y)+path(y,u)，这里的path(v,u)表示v和u之间的最短距离。

DRA的计算：

根据DRA的第5条性质，我们知道剩下的核心就是如何快速的计算DRA。

首先介绍一下BCC的几个性质。

1. 如果一个代理点v所在的联通分支H的点集的数量大于阈值T，那么这样的点v是原图的一个cut-node。（用反证法，如果点v不是一个cut-node，那么移除v不会增加原图的连通分支数量，对于v的DRA Av中至少存在一个邻居节点u，u可以到达H中的任何点，否则移除v就会增加连通分量。那么根据Av的定义，Av的数量就大于阈值。矛盾。）
2. 如果一个BCC的点集的数量大于T，那么这个BCC中的任何一个点都是平凡的代理点。

BC-SKETCH Graph： BC-SKETCH Graph 是一个二分图。二分图一边的点是BC点，每个点表示一个BCC，另一边是cut-node。当如果一个cut-node属于某个BCC，那么久在对应的cut-node和代表该BCC的点之间连接一条边，形成一个二分图，这个二分图就是BC-SKETCH图。

1. BC-SKETCH Graph 是一棵树。（反证法，如果有环B1v1B2v2...vnB1，那么存在一个回路，那么移除任何一个cut-node都不会增加联通分支数量，与假设矛盾）

计算DRA的算法：

1. 查找图中所有的cut-nodes和BCC。可以在线性时间内完成。(自己想了一个方法：线性时间查找一个图中的所有node-cut点分割)
2. 根据BC-SKETCH的性质，建立BC-SKETCH图的时间复杂度是|V|-1
3. 计算DRA和最大代理点。当有了BC-SKETCH图以后，将图中的BC nodes和cut-node不断融合在一起。

利用DRA计算最短路径问题：

预处理：

1. 计算出DRA中每个点与对应的代理点的最短路/最短距离。
2. 计算出代理点和代理点的最短路/最短距离。

最短路径查询path(s,t)：

1. 如果s和t同属于代理点u的DRA的一个分支的话，那么在该分支内计算最短路即可。
2. 如果s和t同属于代理点u的DRA的不同分支的话，那么path(s,t)=path(s,u)/path(u,t)。
3. 如果s属于代理点v的DRA，t属于代理点u的DRA，那么path(s,t)=path(s,v)/path(v,u)/path(u,t)

我们这里不过多的区分最短路径和最短距离的问题，是因为这两个问题是等价的。最短路径返回的结果是一条路径，最短距离是返回源点和终点的距离。马老师的文章里面阐述得更加仔细，把路径和距离的性质单独罗列出来，可以详细看文章里面提的。