快速排序的经典实现与分析

快速排序

快速排序是实际应用中效率最高的排序算法，它的期望时间复杂度是O(nlgn),最坏情况时间复杂度是O(n2)。虽然最坏情况复杂度很高，但是平均期望时间复杂度为O(nlgn),且常数项很小，通过随机抽样的改进后，排序的时间复杂度不会受输入数据的影响。而且算法的空间复杂度为O(lgn),能够进行原址排序。

算法代码如下所示：

int partition(vector<int>& ToBeSorted,int first,int last){ //分解步骤，将数组划分为大于x和小于x两部分，最后将x移位至中央，即x的最终正确位置，在交换元素位置时，有可能导致元素值相同的元素相对位置颠倒，因此需要快速排序是不稳定排序。    static default_random_engine e;    uniform_int_distribution<> u(first,last);    swap(ToBeSorted[first],ToBeSorted[u(e)]);    int pivot = ToBeSorted[first];    int lhsIndex = first,rhsIndex = last + 1;    while(true){        while(ToBeSorted[++lhsIndex]<pivot) if(lhsIndex == last) break;        while(ToBeSorted[++rhsIndex]>pivot) if(rhsIndex == first) break;        if(lhsIndex >= rhsIndex) break;        swap(ToBeSorted[lhsIndex],ToBeSorted[rhsIndex]);            }    swap(ToBeSorted[rhsIndex],ToBeSorted[lhsIndex]);    return rhsIndex;    }}void QuickSort(vector<int>& ToBeSorted,int first,int last){    if (first >= last) return;         //相等说明子数组只有一个元素，无需排序。    int index = partition(ToBeSorted,first,last);    //每次调用Partition后,有ToBeSorted[first...index-1]<=ToBeSorted[index] <=ToBeSorted[index + 1...last],即index位置的元素到达正确位置，之后只需递归排序前半部分和后半部分即可。    QuickSort(ToBeSorted,first,index - 1);    QuickSort(ToBeSorted,index + 1,last);}

上述实现有几个优点，一是随机选择pivot，可以避免对已排序的数组进行排序时，时间复杂度将退化为O(n2)；其次是Partition函数中，采用两端向中间递推的方法，可以更高效的交换元素，而且对于有大量相同元素的数组，Partition函数还是能将数组分为较为均匀的两部分（遇到相同元素时，lhsIndex和rhsIndex依然会递进）。

快速排序的平均复杂度分析

由于Partition函数循环时，lhsIndex 和 rhsIndex 只遍历数组一次，且swap函数的复杂度为O(1)，因此Partition函数的复杂度为O(n)。对于平均情况下的快速排序效率，我们可以假设Partition函数得到的index的值是随机的，故：

T(n)=∑n−1i=11n−1(T(i)+T(n−i−1))+O(n)=∑n−1i=12n−1T(i)+cn

T(n+1)=∑ni=12nT(i)+c(n+1)

化简有：T(n+1)=n+1nT(n)+2c
初始条件T(1)显然为1，展开T(n)至T(1),有:
T(n+1)=n+1n[nn−1[…[21T(1)+2c]…]+2c=(n+1)T(1)+2c(n+1)(1n+1+1n+…+11)
根据调和级数近似求和公式有:
T(n)=O(ln(n))

Partition函数的妙用

参见博客xxx.

小结

快速排序实现非常简单，区区十几行代码就能在不利用额外存储空间的情况下，完成高效的排序，但是缺点是对于已排序的数组和大量相同元素值的数组排序时很慢，上文的实现中考虑这两点进行了改进。但是仍然存在稳定性的问题。除此之外，快速排序递归实现会产生很多小数组，每个小数组都要调用Partition函数，降低了效率。解决办法是利用插入排序排序 小数组非常高效的特点，设定一个阈值，当数组大小达到阈值时，调用插入排序。