{分享}《Matrix67:信息学竞赛中可能有用的概率学知识》——Monty Hall问题

嗯，能算半篇水文，写得不好请见谅。

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《信息学竞赛中可能有用的概率学知识》
内容太多了不打算都写，只写一个刚刚搞懂的问题——《Monty Hall问题》。

对于这个问题，十年来涌现出了无数总也想不通的人，有一些冲在最前线的战士以宗教般的狂热传播他们的思想。为了说服这些人，人们发明创造了十几种说明答案的方法，画表格，韦恩图，决策树，假设法，捆绑法（我的那篇日志里也提到一种最常见的解释方法），但是都没用。这群人就是不相信换了拿到车的概率是2/3。他们始终坚定地认为，换与不换的概率同为1/2。

这么牛那什么的话肯定不是蒟蒻我能说出来的对不对，我也只是那无数总也想不通的人中的一名。准确的说，曾一直是。

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好了我不是来这里谦虚的。

首先，为了给予这个观点正确性，先来看一张图(Copy From Matrix67)。

运用最愚笨的枚举法，很快就能理性的认识到——这还真™是对的。
╮(￣▽￣”)╭:”这下就没办法反驳了吧”。
毒奶一口后，我们还需要感性的理解清楚。
换与不换根本的区别在哪里？！
不错，已经认识到重点了。

我们分别讨论换与不换。
如果不换，为了选到车，必须于一开始选到车。概率1/3.
如果换，只要一开始选到了羊，就一定能选到车。概率2/3.

当然，如果你愿意，也可以直接理解这段话(伪原文)。

现在，还是假设我们选了1号门，那么此时我选到车的概率显然是1/3，同时，这个车在2号门后面的概率也是1/3，在3号门后面仍为1/3。当主持人打开了第2扇门后，我们需要计算一下这导致原来的这些1/3都变成了什么。我们要求在已经知道主持人亮出二号门后面的羊后车在这三个门后面的概率分别是多少。由于我“最初选择1号门”是整个问题的一个假设（大前提），因此对概率的计算只在我们图表中的第一列进行。我们用事件A、B、C分别表示车在1、2、3号门后的概率，事件D表示主持人打开了2号门。在第一列中，打开2号门的情况占了一格半，因此P(D)=1.5/3。A∩D和C∩D的部分分别用灰色和紫色画了出来，B∩D显然为空集。于是，P(A|D)=P(A∩D)/P(D)=(0.5/3) / (1.5/3)=1/3，结果1号门后面有车的概率仍然是1/3。显然，P(B|D)变成0了，因为P(B∩D)=0，B和D根本不可能同时发生。我们惊奇地发现，3号门后面有车的概率从1/3增加到了2/3，因为P(C|D)=P(C∩D)/P(D)=(1/3) / (1.5/3)=2/3。我们使用条件概率从理论上再一次得到了这个雷打不动的事实。

单独讲讲这个问题，拯救一些迷途少年。