Fourier 变换的分析和理解

来源：互联网发布：淘宝怎么看在线人数编辑：程序博客网时间：2024/05/16 12:22

学习傅里叶分析有一段时间了，但是对于傅里叶变换体系中的基本问题还是拎不清楚，本文仅记录个人在学习中的收获和困惑，不断完善知识体系。

关于傅里叶分析的背景知识和研究意义，相关博文已经介绍很清楚，无需赘述，直接从数学的角度分析四种不同形式傅里叶变换的由来和相互关系。根据原信号的不同类型，可以将傅里叶变换分成四种类别:

1. 周期性连续信号    <------> 傅立叶级数(Fourier Series,FS) 2. 非周期性连续信号  <------> 傅里叶变换（Fourier Transform,FT）3. 周期性离散信号    <------> 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)4. 非周期性离散信号  <------> 离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform,DTFT）

其中1,2针对的是连续信号，3,4针对的是离散信号；接下来根据信号类型的不同，分别讨论。

连续信号的傅里叶分析

关于连续信号的傅里叶分析，首先要从连续信号的周期性谈起。: 定义 A

信号x(t)是周期的，如果存在一个正数T使得
$x (t + T) = x (t)$ 对所有的t都成立。其中，正数T成为信号x(t)的周期。满足上式最小的T0成为信号x(t)的基波周期，w0=2π/T0称为信号x(t)的基波频率。

最简单的周期信号是正，余弦信号，Fourier提出的思想就是任何一个周期连续的信号，都能用一组正弦信号的线性组合表出。这在当时是有很大的争议的，最主要的争议来自于拉格朗日认为正弦信号的组合无法表示带有棱角的连续性周期信号，如今我们对这样的问题认识已经有了很大提升。

周期性连续信号的傅里叶表示

基函数

假设x(t)是基波周期为T0的周期性连续信号，根据周期性的定义，可知任意kT0也是信号x(t)的周期，则可以得到一组复指数信号

ϕ k (t) = e j k w 0 t, k 为 整 数

该组信号称为谐波信号，是因为该组信号都以

T0为周期。根据

k的取值不同，谐波函数就不同可知，该函数空间有无穷多元素。（为什么选择复指数，三角函数作为基函数空间，因为复指数函数的特征性质）
令

P = {. . ., e - 2 j w 0 t, e - j w 0 t, 1, e j w 0 t, e j 2 w 0 t, . . . ， e j k w 0 t ， . . .}

是谐波信号构成的函数空间，其中需要明确基函数的基本性质，也就是正交性质

< e j k w 0 t, e j l w 0 t > = \int T 0 0 e j k w 0 t e - j l w 0 t d t = {T 0, 0, k = l k \neq l

傅里叶级数（FS）

此处主要是想用基函数空间将周期性连续函数表征出来，从数学上来说就是解决这样一个问题：

x (t) = \sum k = - \infty + \infty a k ϕ k (t) = \sum k = - \infty + \infty a k e j k w 0 t

如何将上述式子中的系数

ak解出来。

正是基于函数空间中基函数的正交性质，很容易可推导得出

a k = 1 T 0 \int T 0 0 x (t) e - j k w 0 t d t, k 为 整 数

傅里叶级数主要是将周期连续信号用一组谐波函数表示出来，其中

ak成为傅里叶系数，或者是振幅，代表某一谐波分量所占的权重。

非周期性连续信号的傅里叶表示

傅里叶变换（FT）

此处，信号x(t)不再是周期性连续信号，而是一般的非周期信号，需要考虑傅里叶级数的广义形式，也就是说，如何用上述函数空间将非周期的连续信号表征出来。主要的思路是，将信号x(t)以周期T0延拓为x~(t), 通过x~(t)的傅里叶级数，研究将周期T0逐渐取无穷大时，信号x(t)的表征式子。

首先，根据上述分析可将周期延拓后的信号x~(t)的傅里叶系数表示出来， $x ~ (t) = \sum k = - \infty + \infty a k ϕ k (t) = \sum k = - \infty + \infty a k e j k w 0 t,$ $a k = 1 T 0 \int T 0 0 x ~ (t) e - j k w 0 t d t = 1 T 0 \int T 0 / 2 - T 0 / 2 x (t) e - j k w 0 t d t$ 此处利用了被积函数的周期性，将积分区间转化到一个确定的周期内，且该周期内x(t)=x~(t)。
接着，令 $X (j w) = \int T 0 / 2 - T 0 / 2 x (t) e - j w t d t$ 则 $a k = 1 T 0 X (j k w 0) = w 0 2 π X (j k w 0)$ 其中 $X (j w) = \int T 0 / 2 - T 0 / 2 x (t) e - j w t d t$ 则周期信号x~(t)的表征为
$x ~ (t) = \sum k = - \infty + \infty a k ϕ k (t) = 1 2 π \sum k = - \infty + \infty X (j k w 0) e j k w 0 t w 0$
最重要的一步，将周期T不断增大，则发生以下变化(求和变积分的过程)：
x~(t)→x(t),周期信号x~(t)逼近非周期信号x(t)；
w0=2π/T0,逼近无穷小，变为积分微元，通过上述分析可得，
综合式
$x (t) = 1 2 π \int + \infty - \infty X (j w) e j w t d w$ 傅里叶变换
$X (j w) = \int + \infty - \infty x (t) e - j w t d t$

在这个过程中也可以得到周期信号的傅里叶系数和傅里叶变换之间关系，即

a k = 1 T 0 X (j k w 0) = w 0 2 π X (j k w 0)

周期信号的傅里叶级数系数正比于某一周期内信号傅里叶变换的样本值

离散信号的傅里叶分析

这部分内容的学习思路其实是平行于连续信号的分析，也是先要从信号的周期性谈起: 定义 B

信号x[n]是周期的，如果存在一个正整数N使得
$x [n + N] = x [n]$ 对所有的n都成立。其中，正整数N为信号x[n]的周期。满足上式最小的N成为信号x[n]的基波周期，w0=2π/N称为信号x[n]的基波频率。

周期性离散信号的傅里叶表示

基函数

同样地，在离散信号中同样可以得到一组谐波信号作为基函数，用这组函数来线性表征周期离散信号。

ϕ k [n] = e j k 2 π N n, k, n 均 为 整 数

此处，需要特别注意一下这组谐波函数的性质，

ϕ k + N [n] = e j (k + N) 2 π N n = ϕ k [n]

更一般地，

ϕk+rN[n]=ϕk[n],r为整数，该性质说明什么问题？说明这组谐波信号以

N为周期，有且仅有

N个不同的谐波信号；或者可以理解为，此时的函数空间为有限维数的，这点区别于连续情形。接下来，要考虑的问题是如何用这组谐波信号将周期离散信号表征出来？

离散傅里叶级数

已知周期为N的离散信号x[n],考虑如何用N个不同的谐波分量将信号表征，其实是解决这样一个数学问题:如何根据已知的序列x[n]算出系数ak

x [n] = \sum k = < N > a k ϕ k [n] = \sum k = < N > a k e j 2 π N k n

方法一：解线性方程组
方法二：闭式表达式 $a k = 1 N \sum n = < N > x [n] e - j 2 π N k n$

非周期性离散信号的傅里叶表示

如果信号x[n]不再具有周期性，而是一个有限长度的序列，则如何用上述的函数空间表征？解决思路平行于连续信号的情形，即周期延拓的方法。
假设，x~[n]是信号x[n]经过周期N延拓后的信号，则根据上述离散傅里叶级数，可将延拓后的信号表示为

x ~ [n] = \sum k = < N > a k ϕ k [n] = \sum k = < N > a k e j 2 π N k n

其中傅里叶系数为

a k = 1 N \sum n = < N > x ~ [n] e - j 2 π N k n = w 0 2 π \sum n = - \infty + \infty x [n] e - j 2 π N k n = w 0 2 π X (e j k w 0)

其中，

X (e j w) = \sum n = - \infty + \infty x [n] e - j 2 π N k n

令周期

N不断增大，发生的逼近效果需要和连续时情形进行区分，这也是比较难以理解的部分，最后可得到
综合式

x [n] = 1 2 π \int 2 π 0 X (e j w) e j w n d w

离散时间傅里叶变换(DTFT)

X (e j w) = \sum n = - \infty + \infty x [n] e - j w n

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