ACM学习历程21——各种排列组合问题

在这篇博文中，介绍关于1—N和整型数组的排列算法，这些算法的主要用到了递归的思想，即在函数或子过程的内部直接或者间接调用自己的算法。递归算法解决问题的特点在于：递归本身就是在子过程或者函数里调用自身；在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，也就是不存在死递归。当然递归的缺点也是明显的，递归算法虽然间接但是算法求解的运行效率较低。同时在递归调用的过程中系统为每一层的返回点、局部变量等开辟了栈，因而递归次数过多造成栈的溢出。虽然递归算法在效率和内存等方面存在缺点，但是递归算法形式简单易于理解，因此也是必须掌握的一种编程技巧。下面将以各种排列组合算法题目，介绍递归算法的应用。

一、生成1—N的排列：输入一个整数N，然后对1,2,3......N进行全排列，输出排列的情况

#include<iostream>using namespace std;//记录总数int total=0;void printPermutation(int n,int *array,int cur){int i,j;if(cur==n){total++;for(i=0;i<n;i++)cout<<array[i]<<" ";cout<<endl;}else{for(i=1;i<=n;i++){int flag=1;//判断i是否已经被选过for(j=0;j<cur;j++)if(array[j]==i){flag=0;break;}//i没有被选过放入cur位置if(flag){array[cur]=i;printPermutation(n,array,cur+1);}}}}int main(){int n,array[10];cout<<"N=";cin>>n;printPermutation(n,array,0);cout<<"total="<<total<<endl;return 0;}

二、使用next_permutation函数对数组中的元素进行全排列

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>using namespace std;int main(){int i,n,p[20];int count=0;cout<<"n=";cin>>n;for(i=0;i<n;i++)cin>>p[i];sort(p,p+n);do{count++;for(i=0;i<n;i++)cout<<p[i]<<" ";cout<<endl;}while(next_permutation(p,p+n));cout<<"count="<<count<<endl;return 0;}

三、数组中元素的排列组合：要求数组中不能出现重复元素

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int count=0;void printPermutation(int n,int *arr,int *A,int cur){int i,j;if(cur==n)//递归边界{count++;for(i=0;i<n;i++)printf("%d ",A[i]);printf("\n");}elsefor(i=0;i<n;i++)//在A[i]中填各种数i{int ok=1;for(j=0;j<cur;j++)if(A[j]==arr[i]){ok=0;//如果i已经在A[0]~A[cur-1]出现过，则不能再选break;}if(ok){A[cur]=arr[i];printPermutation(n,arr,A,cur+1);}}}int main(){int array[100],arr[100];int i,n;cout<<"n=";cin>>n;for(i=0;i<n;i++)cin>>arr[i];printPermutation(n,arr,array,0);printf("count=%d\n",count);return 0;}

需要注意的是这种方法要求数组中的元素不能重复，原因在于若数组中存在重复的元素，那么当程序执行到A[j]==arr[i]时，标志变量ok的值一直为0，所以cur+1的操作将不会发生，直到外层循环for(i=0;i<n;i++)结束整个递归函数就结束了。

四、数组的排列组合：允许数组中出现重复的元素

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>using namespace std;int total=0;void printPermutation(int n,int *arr,int *array,int cur){int i,j;if(cur==n){total++;for(i=0;i<n;i++)cout<<array[i]<<" ";cout<<endl;}else{for(i=0;i<n;i++){if(!i || arr[i]!=arr[i-1]){int c1=0,c2=0;//arr[i]被填的个数for(j=0;j<cur;j++)if(array[j]==arr[i])c1++;//array中arr[i]的个数for(j=0;j<n;j++)if(arr[j]==arr[i])c2++;if(c1<c2){array[cur]=arr[i];printPermutation(n,arr,array,cur+1);}}}}}int main(){int array[100];int arr[100],n,i;cout<<"n=";cin>>n;for(i=0;i<n;i++)cin>>arr[i];sort(arr,arr+n);printPermutation(n,arr,array,0);printf("total=%d\n",total);return 0;}

注：上面数组中的元素可以重复，但是在调用递归函数之前要对该数组排序。

五、数组的排列组合：选取其中的几个数进行排列组合，允许数组中存在重复的元素

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>using namespace std;int total=0;void printPermutation(int m,int n,int *arr,int *array,int cur){int i,j;if(cur==m)//递归边界{total++;for(i=0;i<m;i++)printf("%d ",array[i]);printf("\n");}elsefor(i=0;i<n;i++)//在array中填各种数i{if(!i||arr[i]!=arr[i-1]){int c1=0,c2=0;for(j=0;j<cur;j++)if(array[j]==arr[i])c1++;for(j=0;j<n;j++)if(arr[i]==arr[j])c2++;if(c1<c2){array[cur]=arr[i];printPermutation(m,n,arr,array,cur+1);}}}}int main(){int array[100];int arr[50];int i,n;cout<<"n=";cin>>n;for(i=0;i<n;i++)cin>>arr[i];sort(arr,arr+n);printPermutation(3,n,arr,array,0);printf("total=%d\n",total);return 0;}