Bellman-Ford——解决负权边（求某点到所有点的最短距离）

Bellman-Ford与dijkstra一样 都是求某点到所有点的最短距离

先说一下Bellman-Ford的思路：将m条变全部枚举（假设第i条边连接的点是u[i].v[i]）判断v[i]到起点的距离是否可以通过v[i]到u[i]的距离和u[i]到起点的距离和替换从而更新dis[v[i]]，显然，第一次循环一定会将离起点最近的点更新至最小，第二次循环又会将除起点外离离起点最近的点最近的点（有点绕，多看几遍）更新，以此类推，最多循环n-1次就能将所有dis更新。当然也有可能，一次循环就更新了所有的dis至最小值，这个待会再考虑。（这种更新称为“松弛”）

核心代码：

for(k=1;k<=n-1;k++){for(i=1;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];}}}

完整代码：

#include<cstdio>using namespace std;int main(){int i,j,k,m,n,u[10],v[10],w[10],dis[10];const int inf=99999999;scanf("%d %d",&n,&m);for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]);}for(i=1;i<=n;i++){dis[i]=inf;}dis[1]=0;for(k=1;k<n;k++){for(i=1;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];}}}for(i=1;i<=n;i++){printf("%d ",dis[i]);}return 0;}

显然算法复杂度是O(NM)。
之前也说过，有可能不需要n-1轮就已经更新完毕，所以我们需要一个判断变量，判断每一轮松弛，如果m条边都没有更新dis，那么说明更新完毕，直接break；

另外，Bellman-Ford显然可以判断有没有负权环，之前已经分析过，最多n-1轮，就可以将所有的dis更新至最小，若第n轮还能继续更新，说明存在负权环。

核心代码：

for(k=1;k<=n-1;k++){for(i=1;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];}}}//更新 flag=0;for(i=1;i<=m;i++){if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]){flag=1;break;}}if(flag==1)printf("有负权环");//判断负权环