算法积累-跳台阶问题

题目一:一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

解析:

属于找规律的算法,设f(n)为跳n个台阶的跳法,从1开始找规律:

f(1) = 1 ;f(2) = 2 ;f(3) = 3 ;f(4) = 5 ;...f(n) = f(n-1) = f(n-2) ;

可以看出是斐波拉契数序列,对于此题来说从n=3开始后每一个数的结果等于前两个的结果之和.可以用递归或者迭代做,因为递归包含很多重复运算,所以用迭代效率会好一些.

递归方法

    public int Jump(int n) {        if (n <= 0) {            return -1;        }        switch (n) {            case 1:                return 1;            case 2:                return 2;            default:                return Jump(n - 1) + Jump(n - 2);        }    }

迭代方法

    public int Jump1(int n) {        if (n <= 2) {            return n;        }        int fron = 1;        int nex = 2;        int sum = 0;        for (int i = 3; i <= n; i++) {            sum = fron + nex;            fron = nex;            nex = sum;        }        return sum;    }

题目二:一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法?

此题被叫做疯狂跳台阶,在普通跳台阶的基础上面需要加深一些理解

此题有多种理解方式:

第一种:

f(1) = 1 ;f(2) = f(2 - 1 ) + f(2 - 2 ) = 1 + 1 =2; //第一次跳一阶后剩下的台阶数跳的方法+第一次跳2阶剩下的台阶跳的方法f(3) = f(3 - 1 ) + f(3 - 2 ) + f ( 3 - 3 ) = f(2) + f (1) +1 = 4  ; //意思类似f(4) = f(4 - 1 ) + f( 4 - 2 ) + f (4 - 3 ) + f( 4 - 4 )  = f(3 + f(2) + f(1) + 1 = 8 ;...f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+...+f(n-n);

然后可以发现规律:f(n) = 2*f(n-1) ;

代码为(当然也可以使用迭代方法):

if (n == 1) {            return 1;        }        return Jump1(n - 1) * 2

第二种理解:每一个台阶都有两种状态,除了最后一个台阶必须跳,跳和不跳两种状态,则方法为f(n) = 2^(n-1);

代码为:

    public int Jump2(int n) {        return (int) Math.pow(2, n - 1);    }

看评论学到另外一种方式,就一行代码,如下:

个人觉得是第二种方法的另外一种写法,略微看不懂…

    public int Jump3(int n) {        return 1 << --n;    }