递归算法的优化思路和CPS

递归算法的本质是定义一个规则， 让程序根据规则去帮你完成一件事。然而递归被吐槽的最多的事它感人的性能和爆栈的可能性，有必要整理一下如何对递归程序做优化。

这里先以Fibonacci为例。

Scala代码：

def fib1(n: BigInt): BigInt = {    if(n == 0) 0    else if(n == 1) 1    else fib1(n - 1) + fib1(n - 2)  }

以上是Fibonacci的一般递归算法， 几乎就是把定义抄了上去， 然后程序在层层递归调用中不知不觉把结果算了出来。当n的数值过大时， 由于递归过深，临时变量塞满了栈空间导致stackoverflow. 有两种比较直观的解决方案： 改写成迭代或者尾递归。

Scala代码

  def fib4(n: BigInt): BigInt = {    var n0 = 0    var n1 = 1        var i = 1    val l = while(i <= n) {      var tmp = n1      n1 = n0 + n1      n0 = tmp      i = i + 1    }    n0  }

以上是用迭代的方式实现Fibonacci。迭代是一种递推的方法， 核心思想是自下而上进行计算， 并将中间结果保存下来， 以避免递归算法对同一个值重复计算的复杂性。 直观的认识是， 我们可以建立一个大小为n的数组， 把f(1) ...f(n - 1)的结果都保存下来。然而经过观察我们发现， 在求f(n)的时候， 我们只需要用到f(n - 1)和f(n - 2)， 之前的结果完全可以抛弃。因此这里定义了n1, n2来保存中间结果， 每次循环重新计算n2的值， 并将老的n2赋值给n1。经过这种优化以后， 空间复杂度从o(n)降到了o(1)。 但这只是个特例， 递归改写成循环并不一定能减少空间复杂度。

这里唯一要注意的是边界值。 当循环以 <= n作为条件时， n = 0时不需要进入循环， n = 1时需要计算一次， 所以此处i = 0, 末尾返回较小的值

通过上面的分析， 我们发现通过循环可以将空间复杂度减少为o(1)。这意味着这个递归能在不构造栈的情况下被改写成尾递归。

 def fib3(n: BigInt): BigInt = {    def fibInner(n: BigInt, acc1: BigInt, acc2: BigInt): BigInt = {      if(n == 0) acc1      else {        fibInner(n - 1, acc2, acc1 + acc2)      }    }    fibInner(n, 0, 1)  }

上面是尾递归算法。 可以看出尾递归的思路其实是迭代的思路， acc1和acc2代表迭代算法中的n0和n1, 每次迭代将acc1赋值为acc2, 将acc2赋值为acc1 + acc2, 和迭代算法如出一辙， 最后返回acc1，对应n0。

由上面分析可以得出一个简单结论：尾递归是迭代算法的一种变相实现， 如果我们推导不出迭代算法， 那么尾递归也同样推导不出。 同时形如f(n) = f(n - x) .... f(n - y)的单向递归都可以套用以上模式改写成循环或尾递归， acc(临时变量)的个数取决于x和y之间的跨度。

此外， 我们还可以使用CPS(Continuation-Passing Style)的方式来改写函数使其成为尾递归。

def fibCont(n: BigInt, continuation: BigInt => BigInt = (x => x)): BigInt = {    if (n < 2) continuation(n)    else {      fibCont(n - 1,        r1 => fibCont(n - 2, r2 => continuation(r1 + r2)));    }  }

Currying之后的函数如下

def fibCont(n: BigInt)(continuation: BigInt => BigInt = (x => x)): BigInt = {    if (n < 2) continuation(n)    else {      fibCont(n - 1)(r1 => fibCont(n - 2)(r2 => continuation(r1 + r2)));    }  }

Fibonacci的CPS函数可以理解为：要计算f(n), 就要先计算f(n - 1)， 再将f(n - 1)的结果放到continuation函数中做接下来的事。而接下来的事无非就是计算f(n - 2), 再将两个数相加的结果作为下一层continuation的参数。

参考了很多大神的博客和资料以及自己的亲身实践以后， 得出如下结论： CPS的方法可以用上述模式把任何递归改写成使用continuation函数的方法， 但：1不能减少程序的复杂度， 2这种形式的尾递归不一定能被编译器优化（如Scala， 在上述函数前加上@tailrec无法通过编译）。CPS体现的是函数式编程的一种思想， 即把变量的值变换替换成函数的定义变换。换句话说， 上述的continuation在层层递归中函数体越拼越长， 到了递归出口才传入真正的参数来计算。 至于为什么空间复杂度并没有减小，是因为这种方式节省了临时变量压栈的空间，是以加长匿名函数体为代价的。 当函数体越来越长时， 该爆栈还是得爆栈。