(ACM数论)中国剩余定理(孙子定理)
来源:互联网 发布:奥拉朱旺场均数据 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 18:08
中国剩余定理是一种能求解一次同余方程组的姿势~
首先我们来看看什么是一次同余方程组:
X % a[1] = b[1]
X % a[2] = b[2]
….
X % a[n] = b[n]
这里的 % 是取余数的意思,使用这个姿势的前提是a[1]、a[2]、a[3]、… 、a[n]两两互质。
令 X = X[1] + X[2] + … + X[n],此时只要找到一组 X[i] 满足 X[i] % a[i] = b[i] 且 X[i] % a[1…n(除了i)]= 0 成立即可。
要使 X[i] % a[1…n(除了i)]= 0 成立,只需要让 X[i] 等于他们乘积的倍数即可。令M为他们乘积,于是有 X[i] = k * M(其中k为任意整数)。
将 X[i] = k * M 代入 X[i] % a[i] = b[i] 得到 (k * M) % a[i] = b[i]
即 k * M + o * a[i] = b[i] (其中o为任意整数)
两边同时除以 b[i] 可得到 k’ * M + o’ * a[i] = 1
即 k’ * M % a[i] = 1
此时 k’ 为 M 对 a[i](质数)的 乘法逆元 (关于乘法逆元可以参考我的这篇文章:http://blog.csdn.net/kasumimasami/article/details/52354715)
所以对式子 k’ * M + o’ * a[i] = 1 两边同时乘以 b[i] 可得到
k’ * b[i] * M + o’ * b[i] * a[i] = b[i] 即 k’ * b[i] * M % a[i] = b[i]
所以 X[i] = k’ * b[i] * M
所以 X = ni[1] * b[1] * M[1] + ni[2] * b[2] * M[2] + … + ni[n] * b[n] * M[n],其中 ni[i] 为 M[i] 对 a[i](质数)的 乘法逆元
代码如下:
int fastpow(int a,int b,int mod)// a ^ b % mod{ int r = 1; while(b) { if(b&1) r = r * a % mod; a = a * a % mod; b = b >> 1; } return r;}int CRT(int a[], int b[], int len)//数组a,b如上定义,len为方程的个数{ int m = 1 , X = 0; for(int i = 1; i <= len; i++) { m = m * a[i]; } for(int i = 1; i <= len; i++) { int M = m / a[i];//除了a[i]的乘积M[i] int ni = fastpow(M,(a[i]-2),a[i]);//求M[i]关于a[i]的乘法逆元ni[i] X = X + ni * M * b[i]; } //返回满足的最小正整数 while(X < 0) X = X + m; return X % m;}
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