平面的投影变换(3)——利用无穷线进行仿射校正

1. 一维投影几何

在一维空间P¹中，直线上的点x的齐次坐标为x = (x₁, x₂)^T，当 x₂ = 0 时为理想点。在这条直线上的点的投影变换为

x' =H_2×2x

其中投影矩阵H_2×2有3个自由度，可由3个匹配点对确定。1维投影具有对互比例(cross ratio)的不变性。定义4个点x_i的互比例为：

      ，其中      

关于互比例，有如下结论：

(1) 互比例不依赖于点 x_i 的任何一种齐次表示。

(2) 对于有限点 x_i ，若它的齐次表示中 x₂ = 1，则 |x_ix_j| 代表两点之间的有符号距离。

(3) 如果一点 x_i 是理想点，则互比例的定义依然有效。

(4) 互比例对投影变换具有不变性，即，如果x' = H_2×2x，则Cross(x₁', x₂', x₃', x₄') = Cross(x₁, x₂ ,x₃, x₄)。

并发线（Concurrent lines）是相交于一点的多条直线，是共线点的对偶。4条并发线 l_i 与直线 l 相交于4个点 x_i ，这4条并发线的互比例就是4个点 x_i 的互比例Cross(x₁, x₂ , x₃, x₄)，它不变于直线 l 的位置。从投影的观点来看，这4个交点相当于4个共面点 x₁, x₂, x₃, x₄ 在直线 l 上的中心投影，这个投影将空间P²上的点投影到空间P¹。这4个投影点的互比例，也就是4条并发线的互比例，与直线 l 的位置无关，或者说不变于投影变换。

如果将上图中的投影中心c 看做摄像机中心，则直线 l 相当于成像直线（类似于成像平面），四个像点的互比例代表成像配置。成像直线的位置与4个像点的成像配置是无关的，对于任何成像直线，得到的都是相同的成像配置（互比例）。

学习并发线的投影几何，对于理解极线的投影几何非常重要。

2. 无穷线在仿射变换中的性质

定理（无穷线仿射定理）：无穷线 l_∞的投影变换 H 还是它本身，当且仅当 H 是仿射变换。

证明：

反之，设一个无穷点(x₁,x₂, 0)^T，经过变换后仍被映射成为一个无穷点，则必有h₃₁ =h₃₂ = 0，这一定是仿射变换。

证毕。

无穷线 l_∞ 上的一个点经仿射后一定仍然落在 l_∞ 上，但却并不一定是该点本身，除非 A(x₁, x₂)^T = k(x₁, x₂)^T 。

3. 恢复仿射属性

如果要消除一幅透视图像中的投影畸变，需要指定平面中4个参考点的位置，以求得投影变换矩阵 H (8 dof)。然而，考虑到投影变换可分解为相似性变换H_S (4 dof)、仿射变换H_A (2 dof)和投影变换H_P (2 dof)的级联，即H = H_SH_AH_P，因此实际上不需要求得完整的投影变换矩阵 H，而只需计 H_A 和 H_P 就足够恢复对象的形状了。

如果不需要消除所有的投影畸变，而只要求进行仿射属性（平行，面积比例）的测量，则只需计算 H_P 就够了，这就是仿射校正。如下图，进行仿射校正之后的图像保持了对象的仿射属性。

从无穷线仿射定理可知，恢复 l_∞ 就可以恢复仿射属性。一种简单的方法是：

  (1) 先在投影图像中寻找一条无穷线的投影 l = (l₁, l₂, l₃)^T ，即灭线；

  (2) 求出能将其变换到归一化无穷线 l_∞= (0, 0, 1)^T的投影矩阵H，即 l_∞ = H^-T l ；

  (3) 然后用 H 对投影图像进行点变换；

  (4) 在得到的校正图像上可以直接进行仿射属性的测量。

其中要求的投影矩阵 H 具有如下形式：

其中寻找灭线的方法是在投影图像中先求出灭点，然后两个灭点连成一条灭线。

求灭点的方法一：在投影图像中求两条平行线的投影直线的交点。

求灭线的方法二：在投影图像中利用三个共线点之间的长度比例求灭点。

4. 利用长度比例求灭点

设在世界坐标上有三个共线点x, y, z, 已知它们之间的长度比例为d(x,y):d(y,z) =a:b，则：

  (1) 它们在投影图像中仍是三个共线点x', y', z'，其长度比例为d(x',y'):d(y',z') =a':b'。

  (2) 将点x, y, z表示为 1 维坐标的齐次形式，分别为(0, 1)^T, (a, 1)^T,(a+b, 1)^T。

  (3)将点x', y', z'表示为 1 维坐标的齐次形式，分别为(0, 1)^T, (a', 1)^T, (a'+b', 1)^T。

  (4) 求 1 维投影变换H_2×2，使得

 [(0, 1)^T, (a', 1)^T, (a'+b', 1)^T] = H_2×2 [(0, 1)^T, (a, 1)^T, (a+b, 1)^T]

       求解上式，首先将其改写为非齐次方程，然后可分别求得H_2×2各项。

  (5) 对理想点(1, 0)^T进行 1 维投影变换得到 1 维坐标系下的灭点，等于H_2×2(1, 0)^T。