[Unity3D]Shader学习笔记之点和矢量

简介

• 点（point）是n维空间（游戏中主要使用二维和三维空间）中的一个位置，它没有大小、宽度这类概念。
• 矢量（vector，也被称为向量）是指n维空间中一种包含了模（magnitude）和方向（direction）的有向线段。速度（velocity）就是一种典型的矢量。
  
  • 矢量的模指的是这个矢量的长度。一个矢量的长度可以是任意的非负数。
  • 矢量的方向则描述了这个矢量在空间中指向。
  • 矢量的头（head）指的是它的箭头所在的端点出，而尾（tail）指的是另一个端点。
  • 只要矢量的模和方向保持不变，无论在哪里，都是同一个矢量。

• 标量（scalar）只有模没有方向。例如距离（distance）就是一种标量。

  　　任何一个点都可以表示成一个从原点出发的矢量。

矢量的运算

矢量和标量的乘法/除法

　　只需要把矢量的每个分量和标量相乘即可。

kv=(kvx,kvy,kvz)

　　一个矢量也可以被一个非零的标量除。这等同于和这个标量的倒数相乘。

vk=(x,y,z)k=1k(x,y,z)=(xk,yk,zk),k≠0

　　对于乘法来说，矢量和标量的位置可以互换的。但对于除法，只能是矢量被标量除，而不能是标量被矢量除，这是没有意义的。
　　当k<0时，矢量的方向也会取反。

矢量的加法和减法

　　两个矢量进行相加或相减，其结果是一个相同维度的新矢量。

a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)

a−b=(ax−bx,ay−by,az−bz)

　　二维矢量的加法和减法，如图：

　　在图形学中，矢量通常用于描述位置偏移（即位移）。因此可以用矢量的加法或减法来计算一点相对于另一点的位移。
　　如果想计算b点相对于a点的位移，就可以通过把b和a相减得到。

矢量的模

　　三维矢量计算公式如下：

∣v∣=v2x+v2y+v2z−−−−−−−−−−√

　　其他维度同理可得，对每个分量的平方相加后再开根号得到。

单位矢量

　　单位矢量指的是模为1的矢量，也称为被归一化的矢量（normalized vector）。
　　对任何非零矢量转换成单位矢量的过程被称为归一化（normalized）。
　　对矢量的归一化，可以使用该矢量除以该矢量的模得到，如下：

v^=v∣v∣,v是非零矢量

零矢量

　　零矢量即矢量的每个分量值都是0，如v=(0,0,0)是不可被归一化的。这是因为做除法运算时分母不能为0。

矢量的点积

　　点积（dot product）也称为内积（inner product）。
　　点积的名称来源于这个运算符号：a⋅b。中间的这个圆点符号是不可以省略的。
　　
　　公式一：两个三维矢量的点积是把两个矢量对应的分量相乘后再取和，最后是一个标量。

a⋅b=(ax,ay,az)⋅(bx,by,bz)=axbx+ayby+azbz

　　矢量的点积满足交换律：a⋅b=b⋅a
　　点积的几何意义很重要，其中一个就是投影（projection）。
　　有一个单位矢量a^和另一个长度不限的矢量b。我们希望得到b在平行于a^的一条直线上的投影。那么，我们可以使用点积a^⋅b来得到b在a^方向上的有符号的投影。
　　当投影的值小于0时，夹角大于90∘。等于0时，夹角为90∘，相互垂直。大于0时，夹角小于90∘。

　　性质一：点积可结合标量乘法。

(ka)⋅b=a⋅(kb)=k(a⋅b)

　　性质二：点积可结合矢量加法和减法。

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c

　　性质三：一个矢量和本身进行点积的结果，是该矢量的模的平方。

v⋅v=vxvx+vyvy+vzvz=∣v∣2

　　公式二：

a⋅b=(∣a∣a^)⋅(∣b∣b^)=∣a∣∣b∣(a^⋅b^)=∣a∣∣b∣cosθ

　　推理得：两个单位矢量的点积等于它们之间的夹角的余弦值。当夹角小于90∘时，cosθ>0；当夹角等于90∘时，cosθ=0；当夹角大于90∘时，cosθ<0。

a^⋅b^=直角边斜边=cosθ

a⋅b=(∣a∣a^)⋅(∣b∣b^)=∣a∣∣b∣(a^⋅b^)=∣a∣∣b∣cosθ

　　利用这两个公式，还可以求得两个向量之间的夹角（在0~180°）

θ=arcos(a^⋅b^)，假设a^和b^是单位矢量。

矢量的叉积

　　叉积（cross product），也被称为外积（outer product）。矢量叉积的结果仍然是一个矢量。
　　和点积类型，叉积的名称来源于它的符号：a×b。同样这个符号是不能省略的。两个矢量的叉积可用如下公式计算：

a×b=(ax,ay,az)×(bx,by,bz)=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)

　　叉积不满足交换律，即a×b≠a×b。
　　叉积满足反交换律，即a×b≠−(a×b)。
　　叉积不满足结合律，即(a×b)×c≠a×(b×c)。
　　
　　a×b的长度等于a和b的模的乘积再乘以它们之间夹角的正弦值。公式如下：

∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ

　　用a和b构建一个平行四边形，其面积可以使用∣b∣h来得到，即底乘以高。而h又可以使用∣a∣和夹角θ来得到，即

A=∣b∣h=∣b∣(∣a∣sinθ)=∣a∣∣b∣sinθ=∣a×b∣

　　如果a和b平行（方向可能相同可能相反），可以认为构建出来的平行四边形的面积为0，那么a×b=0，这里得到的是向量0，而不是标量0。

　　根据左右手坐标系的不同，叉积求得的垂线的方向也不同，如下：