矩阵相关计算

1. 求逆矩阵及相应对角矩阵

A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0

【初等变化法求解逆矩阵】

【余子式求逆矩阵】

一个矩阵A的余子式（又称余因式）是指将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式。

一个矩阵A的(i, j)代数余子式：Cij 是指A的(i, j)余子式M_ij与(−1)^{i +j}的乘积：

Cij = (−1)^{i + j} M_ij

2.  行列式的值

行列式某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。

如果行列式的任意两行（列）对应元素成比例，则行列式为零。

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式值不变。

例如：

使用初等变换

使用伴随矩阵

【特征值和矩阵对角化】

矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。

实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。

Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。

_{特征值的排列即对角矩阵。}

例如