面试题整理-斐波那契数列

这个很好。其实也就是f(0) = 0, f(1) = 1. 然后 f(n) = f(n-1) +  f(n-2);

测试链接点击打开链接。求解：

#include <stdio.h>  #include <stdlib.h>    long long a[71];  void init(void) {      a[0] = 0;      a[1] = a[2] = 1;      for (int i = 3; i < 71; ++i) {          a[i] = a[i-1] + a[i-2];      }  }    int main(void) {      int n;init();      while (scanf("%d", &n) != EOF) {          printf("%lld\n", a[n]);      }      return 0;  }  //注意打表及长整型。  

解题

首先，不要用递归的方法。那个是很烂的解法。直接忽略。这里也不用打表的方法。也就是说，每给一个数。直接进行计算从而得到结果。

你可能会想到下面的这个方法：

int fib(int n) {      if (0 == n) return 0;      if (1 == n || 2 == n) return 1;      int a = 1, b = 1, ret = 0;      for (int i = 3; i <= n; ++i) {          ret = a + b;          b = a;          a = ret;      }      return ret;  }  

但是这种方法，有个很明显的缺点。也就是容易溢出。32位只能计算至45。64位只能计算至92。所以当数值一大，不管是用long或者long long也好。都不能解决。

 

大整数斐波那契数列-推荐使用，简单有效

那么首先想到的是利用大整数来进行求解。这里我们用string来摸拟大整数。

#include <iostream>  #include <string>  #include <stdio.h>  #include <stdlib.h>  using namespace std;    string &_string_add_string(const string &a, const string &b, string &res)  {      int sum_value = 0, add_bit = 0;      const int alen = a.length(), blen = b.length();      res = "0" + (alen > blen ? a : b);      for (int i = alen-1, j = blen-1, k = res.length() - 1;            i >= 0 || j >= 0 || add_bit > 0;            --i, --j, --k){          sum_value = (i>=0 ? a[i]-48: 0) + (j>=0 ? b[j]-48: 0) + add_bit;          add_bit = sum_value / 10;           res[k] = sum_value%10 + '0';      }      if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);      return res;  }    string fib(int n) {      if (0 == n) return "0";      if (1 == n || 2 == n) return "1";      string a = "1", b = "1", ret = "0";      for (int i = 3; i <= n; ++i) {          _string_add_string(a, b, ret);          b = a;          a = ret;      }      return ret;  }    int main(void)  {      int n;      string a, b, c;      string ret;      while (scanf("%d", &n) != EOF) {          printf("%s\n", fib(n).c_str());      }      return 0;  }  

现在得到一个大整数的解法。也就是对于任意大的数。都可以得到解。现在希望对这个进行改进。大数的加法，测试地址。

lg(n)的斐波那契数列

首先是效率问题，当n特别大的时候。求解起来，很不方便。于是我们想怎么去改进这个效率。

比如F(n) = F(n - 1) + F(n-2);

从而可以得到矩阵公式：

[F(n) F(n-1)] = [F(n-1) F(n-2)] * A;

A矩阵等于

1 1

1 0

不用多说，把公式展开。也就是[ F(n) F(n-1)] = [F(1) F(0)] * pow(A, n-1);

而我们知道[ F(1) F(0)] = [ 1 0]; 也就是说F(n) = pow(A, n - 1) [0][0];

也就是矩阵pow(A, n-1) 最左上角的第一个元素。

实际，也就是把O(n)的累加问题变成了pow()指数问题。

这里写一个高效的pow()模板。是O(log2n)。

template<typename T>  T pow(T a, int n)  {      T odd = 1;      while (n)      {          if (n&1) odd *= a;          a *= a;          n>>=1;      }      return odd;  }  

根据这个模板，我们只需要重写一个矩阵的乘法就可以了。不要去写一个矩阵类啊。

#include <stdio.h>  #include <stdlib.h>    typedef struct _node  {      long long a, b;      long long c, d;  } node;      void _multiple(node *x, node *y) {      node temp;      temp.a = x->a*y->a + x->b*y->c;      temp.b = x->a*y->b + x->b*y->d;      temp.c = x->c*y->a + x->d*y->c;      temp.d = x->c*y->b + x->d*y->d;      *x = temp;  }    long long fib(int n)  {      if (0 == n) return 0;      if (1 == n || 2 == n) return 1;        node odd; odd.a = odd.d = 1; odd.c = odd.b = 0; //单位矩阵      node temp; temp.a = temp.b = temp.c = 1; temp.d = 0; // A矩阵        --n;      while (n) {          if (n&1) _multiple(&odd, &temp);          _multiple(&temp, &temp);          n >>= 1;      }        return odd.a;  }    int main()  {      int n;      while (scanf("%d", &n) != EOF) {          printf("%lld\n", fib(n));      }      return 0;  }

结构很清晰。但是还是有前面提出来的问题。也就是溢出问题。C++没有大数。算了，还是自己用string模拟一下吧。

大数的乘法

我们只需要处理的是大数的乘法。而大数的乘法是依赖于大数的加法的。所以相当于加法与乘法都要用到。

那么先来个大数的乘法吧。大数乘法。

#include <iostream>  #include <string>  using namespace std;    string &_del_zeros_before_dot(string &a)  {      if (a.length() <= 0 || a[0] != '0') return a;      int i = 0;      while (i < a.length() && a[i] == '0') ++i;      a = a.substr(i, a.length() - i);      return a;  }    string &_string_add_string(const string &a, const string &b, string &res)  {      int sum_value = 0, add_bit = 0;      const int alen = a.length(), blen = b.length();      res = "0" + (alen > blen ? a : b);      for (int i = alen-1, j = blen-1, k = res.length() - 1;            i >= 0 || j >= 0 || add_bit > 0;            --i, --j, --k){          sum_value = (i>=0 ? a[i]-48: 0) + (j>=0 ? b[j]-48: 0) + add_bit;          add_bit = sum_value / 10;           res[k] = sum_value%10 + '0';      }      if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);      return res;  }      string &_gen_zeros_string(int n, string &res) {      string temp = "0";      res = "";      while (n) {          if (n&1) res += temp;          temp += temp;          n >>= 1;      }      return res;  }    string &_string_multiply_char(      const string &a,       char c, int n_zeros, string &res) {        int ch = c - '0';      string zeros_string;      _gen_zeros_string(n_zeros, zeros_string);      res = "0" + a + zeros_string;            const int alen = a.length();      for (int i = alen - 1, k = alen, add_bit = 0;           i >= 0 || add_bit > 0; --i, --k) {          int v = (i>=0 ? a[i]-48: 0) * ch + add_bit;          add_bit = v / 10;          res[k] = v % 10 + '0';      }      if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);        return res;  }    string &_string_multiply_string(const string &a, const string &b, string &res) {      string c = a, d = b;      _del_zeros_before_dot(c);      _del_zeros_before_dot(d);      int clen = c.length(), dlen = d.length();        if (clen < dlen) {           string t = c; c = d; d = t;          int x = clen; clen = dlen; dlen = x;      }        res = "0";      for (int i = dlen - 1; i >= 0; --i) {          string temp_res;          _string_multiply_char(c, d[i], (dlen - 1 - i), temp_res);            string add_res;          _string_add_string(res, temp_res, add_res);          res = add_res;      }      return res;  }    int main(void)  {      string a, b, c;      while (cin >> a >> b) {          _string_multiply_string(a, b, c);          cout << c << endl;      }      return 0;  } 

大数乘法搞定之后，应该把大数引入至O(lgN)中去。

 带大数的斐波那契数--做研究，不是很推荐

 这里把大数模板代入到O(lgN)中去。

#include <iostream>  #include <string>  #include <stdio.h>  #include <stdlib.h>  using namespace std;    string &_del_zeros_before_dot(string &a)  {      if (a.length() <= 0 || a[0] != '0') return a;      int i = 0;      while (i < a.length() && a[i] == '0') ++i;      a = a.substr(i, a.length() - i);      return a;  }    string &_string_add_string(const string &a, const string &b, string &res)  {      int sum_value = 0, add_bit = 0;      const int alen = a.length(), blen = b.length();      res = "0" + (alen > blen ? a : b);      for (int i = alen-1, j = blen-1, k = res.length() - 1;            i >= 0 || j >= 0 || add_bit > 0;            --i, --j, --k){          sum_value = (i>=0 ? a[i]-48: 0) + (j>=0 ? b[j]-48: 0) + add_bit;          add_bit = sum_value / 10;           res[k] = sum_value%10 + '0';      }      if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);      return res;  }    string &_gen_zeros_string(int n, string &res) {      string temp = "0";      res = "";      while (n) {          if (n&1) res += temp;          temp += temp;          n >>= 1;      }      return res;  }    string &_string_multiply_char(      const string &a,       char c, int n_zeros, string &res) {        int ch = c - '0';      string zeros_string;      _gen_zeros_string(n_zeros, zeros_string);      res = "0" + a + zeros_string;            const int alen = a.length();      for (int i = alen - 1, k = alen, add_bit = 0;           i >= 0 || add_bit > 0; --i, --k) {          int v = (i>=0 ? a[i]-48: 0) * ch + add_bit;          add_bit = v / 10;          res[k] = v % 10 + '0';      }      if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);        return res;  }    string &_string_multiply_string(const string &a, const string &b, string &res) {      string c = a, d = b;      _del_zeros_before_dot(c);      _del_zeros_before_dot(d);      int clen = c.length(), dlen = d.length();        if (clen < dlen) {           string t = c; c = d; d = t;          int x = clen; clen = dlen; dlen = x;      }        res = "0";      for (int i = dlen - 1; i >= 0; --i) {          string temp_res;          _string_multiply_char(c, d[i], (dlen - 1 - i), temp_res);            string add_res;          _string_add_string(res, temp_res, add_res);          res = add_res;      }      return res;  }    typedef struct _node {      string a, b;      string c, d;  }node;    inline void _m_fun(const string &a, const string &b,       const string &c, const string &d, string &res) {      string ares, bres;      _string_multiply_string(a, b, ares);      _string_multiply_string(c, d, bres);      _string_add_string(ares, bres, res);  }  void _multiple(node &x, node &y) {      node temp;      string ares, bres;      _m_fun(x.a, y.a, x.b, y.c, temp.a); //temp.a = x->a*y->a + x->b*y.c;      _m_fun(x.a, y.b, x.b, y.d, temp.b); //temp.b = x->a*y->b + x->b*y.d;      _m_fun(x.c, y.a, x.d, y.c, temp.c); //temp.c = x->c*y->a + x->d*y.c;      _m_fun(x.c, y.b, x.d, y.d, temp.d); //temp.d = x->c*y->b + x->d*y->d;      x = temp;  }    string fib(int n)  {      if (0 == n) return "0";      if (1 == n || 2 == n) return "1";        node odd; odd.a = odd.d = "1"; odd.c = odd.b = "0"; //单位矩阵      node temp; temp.a = temp.b = temp.c = "1"; temp.d = "0"; // A矩阵        --n;      while (n) {          if (n&1) _multiple(odd, temp);          _multiple(temp, temp);          n >>= 1;      }        return odd.a;  }    int main(void)  {      int n;      while (scanf("%d", &n) != EOF) {          string res = fib(n);          printf("%s\n", res.c_str());      }      return 0;  }  

不过虽然是引进了乘法，不过由于大数模板乘法效率并不高效。速度还是比较慢的。还是推荐前面利用加法的大数模板。