素数判定的一些讨论（Miller-Rabin算法）

很久没有写博客了。。。最近军训加开学，感觉刷题速度有降低，要补一补。

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回归正题，正式进入数论阶段，讨论一下关于素数判定的那些事。

一类问题： 判定一个整数n(n>1)是否为素数。

算法1:

直接根据素数的定义枚举i从2到(n−1)，如果n%i==0n为合数。
时间复杂度：O(n)

bool is_prime(int n) {    int i;    for(i = 2; i < n; i++)        if(n % i == 0) return false;    return true;}

算法2:

发现若存在i<n使得n%i==0，则必有n%(n/i)==0。
所以只需枚举i从2到sqrt(n)即可。
时间复杂度：O(n√)

bool is_prime(int n) {    int i;    for(i = 2; i * i <= n; i++)        if(n % i == 0) return false;    return true;

Miller-Rabin算法:

这是一种随机性素数判定算法，也就是说，答案可能出错，但是可能性极小。

先是讲两个定理：

费马小定理：
对于一个质数p，取任意整数a，满足gcd(p,a)=1，则有

ap−1≡1(modp)

二次探测定理：
对于0<x<p，若p是素数，则方程：

x2≡1(modp)

的解为：

x1=1,x2=p−1

因为费马小定理的逆命题不成立，而否逆命题成立，所以我们可以利用一下一点：
对于任意整数a<p，不满足ap−1≡1(modp)，则p为合数。

所以我们可以不断在区间[2,p−1]范围内随机取a，并进行判定。在s次判定不为合数之后，我们就可以说这个数是质数。

但是这还不够精确，我们可以先把p−1分解成2t×u(u∈{x|x=2∗k+1,k∈N})的形式，然后令x[0]=aumodp,，那么将x[0]平方t次就是(au)2tmodp的值，我们设x[i]为x[0]平方i次的值，根据二次探测定理，若x[i]等于1，则x[i−1]等于1或p-1，不满足则p为合数。

注意以上操作中所有的形如abmodp的式子都要用快速幂运算，当n比较大时，形如a×bmodp的式子也要使用分治的思想来计算。

这就是Miller-Rabin算法的主要内容。

时间复杂度：考虑常数后为O(slog3n)

代码如下：

const int MAXN = 65;long long n, x[MAXN];long long multi(long long a, long long b, long long p) {    long long ans = 0;    while(b) {        if(b&1LL) ans = (ans+a)%p;        a = (a+a)%p;        b >>= 1;    }    return ans;}long long qpow(long long a, long long b, long long p) {    long long ans = 1;    while(b) {        if(b&1LL) ans = multi(ans, a, p);        a = multi(a, a, p);        b >>= 1;    }    return ans;}bool Miller_Rabin(long long n) {    if(n == 2) return true;    int s = 20, i, t = 0;    long long u = n-1;    while(!(u & 1)) {        t++;        u >>= 1;    }    while(s--) {        long long a = rand()%(n-2)+2;        x[0] = qpow(a, u, n);        for(i = 1; i <= t; i++) {            x[i] = multi(x[i-1], x[i-1], n);            if(x[i] == 1 && x[i-1] != 1 && x[i-1] != n-1) return false;        }        if(x[t] != 1) return false;    }    return true;}