CSU1810(2016年湖南省第十二届大学生计算机程序设计竞赛 - H)

Problem : Reverse
Description :

给你一个大整数。按照图中给的公式反转字符串然后加起来。输出最后答案。

Solution :

列举找规律+乘法逆元。举个列子吧。12345，我们按照公式展开。得到

12345−1111−111−11−121234−2345−222−22−233123−3234−345−33−344412−4423−434−45−455551−5552−553−54−5

我们观察3这个位置，即k=3,num=3。在i≥4时，num一直待在自己的位置上。而在i=1有两个待在自己的位置，i=2有一个待在自己的位置。同时发现i=1时num从1−3都待过，i=2时num从2−4都待过，i=3时num从3−5都待过。这样，就可以写出一个公式了。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f(k)={[(n−k+1)∗(n−k)2+(k−1)∗k2]∗10n−k+a∗(1−110k)1−110}∗numa=10k−1∗(10n−k+1−1)9

把这个公式化简下。得出了每一位的公式，这样，我们枚举每一位，然后把结果加起来就可以了，但是现在有个问题，结果很大，超过了longlong的范围，因此要对(109+7)取模。而公式中又用到了除法，我们知道，如果分子取模了再除分母，答案是会不对的。那么这个时候就要用到乘法逆元了。我用的是费马小定理求乘法逆元。因此这个题目还是考察了多个方面。

Code(C++) :

#include <stdio.h>typedef long long LL;const int M=100000+5;const LL MOD=1000000000LL+7;char num[M];LL n;LL mul(LL x,LL n,LL mod){    LL tmp=x;    LL ans=1;    while(n){        if(n&1){            ans*=tmp;            ans%=mod;        }        tmp*=tmp;        tmp%=mod;        n>>=1;    }    return ans;}LL cal(LL digit,LL k){    LL tmp=(n-k+1)*(n-k)/2+k*(k-1)/2;    tmp%=MOD;    tmp=tmp*mul(10,n-k,MOD)%MOD;    LL a=(mul(10,k-1,MOD)*(mul(10,n-k+1,MOD)-1+MOD))%MOD*mul(9,MOD-2,MOD)%MOD;    LL t=(a*(mul(10,k,MOD)-1+MOD)%MOD)*(mul(9*mul(10,k-1,MOD)%MOD,MOD-2,MOD))%MOD;    tmp=(tmp+t)%MOD;    tmp=tmp*digit%MOD;    return tmp;}int main(){    while(~scanf("%lld",&n)){        scanf("%s",num);        LL ans=0;        for(LL i=0;i<n;i++)            ans=(ans+cal((LL)(num[i]-'0'),i+1))%MOD;        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}