差分约束系统

差分约束系统是线性规划问题的一个特例。k行n列的线性规划矩阵A的每一行包含一个1和一个-1，其余均为0。也就是说，每个约束条件都形如

xj−xi≤bk

单源最短路问题

这个问题可以从另一个角度来理解：给每个顶点v分配一个顶标δ(s,v)，满足：
1. δ(s,v)≤δ(s,u)+w(u,v),(u,v)∈E
2. 存在(u,v)∈E，使得δ(s,v)=δ(s,u)+w(u,v)

约束图

移项得

xj≤bk+xi

发现它和最短路问题中的三角不等式是一致的：

δ(s,v)≤δ(s,u)+w(u,v),(u,v)∈E

由此，我们建图如下，得到差分约束系统的一组可行解或判其无解：
添加额外的源点v0，从v0向每个xi连一条有向边，边权为0。对于每个不等式xj−xi≤bk，连有向边(vi,vj)，w(vi,vj)=bk。求以v0为源点的单源最短路，如果存在负圈，则无解；否则，xi=δ(s,vi),1≤i≤n是差分约束系统的一组可行解。

这样的一个图称为约束图。

无解

为什么存在负圈意味着差分约束系统无解呢？我们来证明一下。

设<v1,v2,...,vm>是约束图中的一个负环，v1=vm。相应地，差分约束系统中有不等式

x2−x1≤w(v1,v2)x3−x2≤w(v2,v3)...vm−vm−1≤w(vm−1,vm)

全部加起来，有

0≤一个负数

这是不科学的。证毕。

转化

xj−xi≥bk<=>xi−xj≤−bkxj−xi<bk<=>xj−xi≤bk−1xj−xi>bk<=>xi−xj≤−bk+1xi=xj<=>xi≤xj and xj≤xixi≤bk<=>xi−0≤bk

解的特性

定理1：如果(x1,x2,...,xn)是一组可行解，那么(x1+d,x2+d,...,xn+d)也是一组可行解。
证明略。

定理2：由约束图得到的可行解满足xi≤0。
证明略。

定理3：由约束图得到的可行解与其他满足xi≤0的可行解相比，最大化Σni=1xi。
假设另有一组满足yi≤0的可行解(y0,y1,y2,...,yn)，为了统一起见，同样附加一个y0=0。考察源点到任意一点，不妨设其为vn，最短路径为<v0,v1,v2,...,vn>。x0≥y0。假设xi≥yi成立，那么xi+1=xi+w(vi,vi+1)≥yi+w(vi,vi+1)≥yi+1。第一个等号是根据最短路的性质。由数学归纳法，对于所有xi，均有xi≥yi成立，因而最大化了Σni=1xi。

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UPDATE 2016.9.10
和WZH学长讨论有没有更直观的证法，受到启发，如下：
x、y还是和上面一样。从v0到vn，有

xn−xn−1=w(vn−1,vn)xn−1−xn−2=w(vn−2,vn−1)...x1−x0=w(v0,v1)

和

yn−yn−1≤w(vn−1,vn)yn−1−yn−2≤w(vn−2,vn−1)...y1−y0≤w(v0,v1)

分别全部相加，得

xn−x0=Σwyn−y0≤Σw

代入x0=y0=0，得

xn≥yn

证毕。

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定理4：由约束图得到的可行解最小化max{xi}−min{xi}。
由定理1，我们可以“平移”解向量。这个变换不改变各个变量的相对大小。假设另有一组可行解(y1,y2,...,yn)，将它平移，使得max{yi}=max{xi}。由定理3的证明，min{xi}≥min{yi}，故max{xi}−min{xi}≤max{yi}−min{yi}。

如果我们要最小化Σni=1xi，最大化max{xi}−min{xi}，该怎么做呢？

把最短路改为最长路即可。

怎么求最长路呢？一种方法是把所有边权取反，用SPFA求最短路。另一种方法是直接修改SPFA松弛的条件。注意这里的最长路与无权简单最长路的区别，所以它不是NP完全问题。

例题

Bzoj 2330 [SCOI2011]糖果

一开始TLE，上网搜索，得知这道题有两个坑：
1. 有一组数据是一条很长的链。不知道除了面向数据还有什么解决方法呢？
2. 有一组数据存在很大的负环。虽然这组数据存在负的自环，可以直接判掉……

关于负环的判定，我参考了lydrainbowcat的方法：记录最短路径的长度。

不良心的出题人。

#include <cstdio>#include <queue>#include <cctype>#define NO_SOL() {puts("-1"); return 0;}using namespace std;typedef long long ll;const int MAX_N = 100000, MAX_K = 100000;int e_ptr = 1, n, k, head[MAX_N+1], d[MAX_N+1];ll dis[MAX_N+1];bool inq[MAX_N+1];struct Edge {    int v, next;    ll w;} E[MAX_K*2+1];inline void add(int u, int v, ll w){    E[e_ptr] = (Edge){v, head[u], w};    head[u] = e_ptr++;}bool SPFA(){    queue<int> Q;    for (int i = 1; i <= n; ++i) {        inq[i] = true;        dis[i] = -1;        Q.push(i);    }    int u;    while (!Q.empty()) {        u = Q.front();        Q.pop();        inq[u] = false;        for (int i = head[u]; i; i = E[i].next) {            int v = E[i].v;            ll upd = dis[u] + E[i].w;            if (dis[v] > upd) {                dis[v] = upd;                d[v] = d[u] + 1;                if (d[v] > n)                    return false;                if (!inq[v]) {                    inq[v] = true;                    Q.push(v);                }            }        }    }    return true;}template<typename T>inline void read(T& x){    x = 0;    char c = getchar();    while (!isdigit(c))        c = getchar();    while (isdigit(c)) {        x = x*10 + c - '0';        c = getchar();    }}int main(){    read(n);    read(k);    int x, a, b;    for (int i = 0; i < k; ++i) {        read(x);        read(a);        read(b);        switch (x) {            case 1: // a = b            add(a, b, 0);            add(b, a, 0);            break;            case 2: // a < b            if (a == b)                NO_SOL();            add(a, b, -1);            break;            case 3: // a >= b            add(b, a, 0);            break;            case 4: // a > b            if (a == b)                NO_SOL();            add(b, a, -1);            break;            case 5: // a <= b            add(a, b, 0);        }    }    // 求最长路，边权取负后求最短路    if (!SPFA())        NO_SOL();    ll ans = 0;    for (int i = 1; i <= n; ++i)        ans -= dis[i];    printf("%lld\n", ans);    return 0;}