【JZOJ4755】【NOIP2016提高A组模拟9.4】快速荷叶叶变换

题目描述

输入

一行，包含两个整数N，M。

输出

1个整数，FHT(N,M) mod 1000000007的值。

样例输入

3 4

样例输出

1

数据范围

对于 40% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 1000
对于 60% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 10^6
对于 100% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 10^9

解法

答案=ans(n)*ans(m) (其中ans(n)=sigma(n%i))；
那么现在只用考虑ans(n)怎么求。
ans(n)=sigma(n mod i)
=sigma(n-i*(n div i))
=n^2-sigma(i)*sigma(n div i)
由于sigma(n div i)最多只有n^0.5种取值。所以可以分段计算。

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证明：
令i=1..n^0.5，那么对应的n div i区间就在[n^0.5,n]，所以约数最多有2*n^0.5个。

代码

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>#include<algorithm>#define ll long long#define sqr(x) ((x)*(x))#define ln(x,y) int(log(x)/log(y))using namespace std;const char* fin="aP1.in";const char* fout="aP1.out";const int inf=0x7fffffff;const int mo=1000000007;int read(){    int x=0;    char ch=getchar();    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();    return x;}int n,m,i,j,k;ll ans,tmp;ll work(int a,int b){    ll i,j=1,k=0,num,tmp,st=a;    while (a){          num=(a-b)/(j+1)+((a-b)%(j+1)?1:0);        if (num<=100) {            break;        }        tmp=b+num*j-j;        k=(k+(b+tmp)*num/2)%mo;        a-=num;        b=(tmp+j)%a;        j++;    }    for (;a;a--) k=(k+(st%a))%mo;    return k;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    ans=(work(n,0)*work(m,0))%mo;    printf("%lld",ans);    return 0;}

启发

n%i=n-n div i*i。
当i=1..n时，n div i最多有n^0.5个取值，所以可以分段计算。