动态规划-砝码称重问题

    动态规划（Dynamic Programming）这个词乍一听感觉甚是高大上，初次学习或者使用的时候会感觉难以理解，这是正常的，毕竟凡事都是一回生二回熟。其实它也不难的，大家要明白一个道理，能写到课本上给学生学习的东西必然属于不难的东西，因为太难的东西写到课本上读者接受不了，这本书就没有出版的意义了。当然我说的不难也仅仅只是说动态规划的思想不难，因为我们常常面临着一个棘手的问题---那就是这个理论应用到实践中的时候，它没有一个公式或者现成的可以直接用来套用的模型。对于这一点，没有办法，只能是通过多种案例，自己多总结，多思考，看看每一种能用动态规划理论解决的问题，状态模型究竟是如何建立的，而这就需要读者多多练习了。

    本文通过华为OJ上一个基本题-砝码称重问题来让初学者消化动态规划。

    先来读一读题目，题目如下：

    现有一组砝码，重量互不相等，分别为m1、m2……mn；他们可取的最大数量分别为x1、x2……xn。现在要用这些砝码去称物体的重量，问能称出多少种不同的重量。

    看完这个题目感觉似乎无从下手，难道要一个个的枚举拼凑吗？答案是否定的。不绕弯子了，下面直接进入动态规划的主场。我们假定砝码的重量单位是克，下文中不添加这个单位，只说数字，比如重量是1，表示重量是1克。

    设想第0种情况，假如现在只有0个砝码，问它能称出的重量有几种？是个人都知道只能称0的重量，并且只有这么1种情况。

    设想第1种情况，现在只有1种规格的砝码，它的重量是1，数量是1个，问它能称出的重量有几种？很明显，能称出0和1这2种重量，一共2种情况。

    设想第2种情况，现在有2种规格的砝码，它们的重量分别是1和2，1克的砝码1个，2克的砝码1个，问它能称出的重量有几种？用手比划比划应该能知道，能称出0，1，2，3这4种重量，4种情况。

    。。。

    。。。

    设想第n种情况，现在有n种规格的砝码，他们的重量分别为m1，m2。。。mn，问它能称出的重量是几种？这个时候貌似不是用手比划比划就可以出来结果了。但是这个问题的提出，就相当于是题目最终要解决的问题了。如果能够利用某种规律回答这第n种情况的提问，那么砝码称重的问题就可以完全解决。问题来了，上面的分析过程是否存在一个规律呢？答案是规律肯定存在，并且分析这种规律的思路就是动态规划的思路。

    现在我们把第n种情况能称出的重量种数用f(n)来表示，可以试着这样具体化的描述，第0种情况能称出的重量有f(0)种，第1种情况能称出的重量有f(1)种，第2种情况能称出的重量有f(2)种,。。。第n种情况能称出的重量有f(n)种。

    下面，回归到上面的提到的情况分析中去。

    第0种情况，f(0)=1;

    第1种情况，f(1)=2;如果把这个结果和第0种情况结合起来看，可以认为：f(1)=f(0)+1,此式意义非凡，它的意义为：第1种情况可以建立在第0种情况的基础上去解决，单单来看情况1的砝码可以称1种重量（即用一个1克的砝码称1克的物体）不同于情况0中，二者相加即为f(1)的结果。

    第2种情况，f(2)=4=f(1)+2，为什么加2？因为如果仅仅只有1个1克的砝码和1个2克的砝码，它只能称出重量为2克,3克这两种不同于情况1中的重量（情况1中已经解决了0克和1克的问题）。

    现在假定已经解决了第n-1种情况，即f(n-1)的值已经知道，那么我们如果能计算出单单第n种情况能称出哪些不同于n-1种情况中的重量，假定为x种，那么f(n)=f(n-1)+x。最终问题便得到了解决。

    请仔细领会上面的这个分析过程，一定要弄明白。

    下面附上C++的程序，本程序先计算第0种砝码能称出多少种重量，能称出的重量均在flag[100000]数组中做好标记，然后计算第0种砝码最多能称多大的重量，在这个基础上加入第1种砝码，然后计算第2种，直至第n种。程序最关键的地方在于29行采用CurrentWeight逐次加1试探的方式得到一个数值，然后在33行验证这个CurrentWeight是否是前一种情况中的砝码可以称出来的重量，如果是，表明新的重量值确实可以称出来，那么就把这个重量在flag[100000]数组中标记。最后统计标志数组flag[100000]种1的次数，即为所有砝码随意组合可以称出的重量。

#include <iostream>#include <iomanip>#include <string>using namespace std;int fama(int N, int weight[], int num[]){int AllWeight = 0, i, j;for (i = 0; i < N; i++)AllWeight = AllWeight + weight[i] * num[i];int flag[100000] = {0};/*先计算第0种砝码能够得到的称重数量，并且计算第0种砝码最大的重量*/int TempWeight = 0;for (i = 0; i <=num[0]; i++){flag[weight[0] * i] = 1;}TempWeight = weight[0]*num[0];//从此以后TempWeight将用来表示前一种砝码的最大重量i = 1;//从第1种砝码开始做int CurrentWeight;int NewWeight;while (i < N){for (j = 1; j <=num[i]; j++)//第i种砝码的个数最多为num[i]{for (CurrentWeight = 0; CurrentWeight <=TempWeight; CurrentWeight++)//CurrentWeight采用试探的方式逐次加1它的大小不能大于前一种重量的最大值{NewWeight = CurrentWeight + j*weight[i];if (NewWeight>AllWeight) break;if (flag[CurrentWeight==1]&&flag[NewWeight]==0)//如果当前的这个重量可以由前一种砝码和当前砝码组合而成{flag[NewWeight] = 1;}}}TempWeight = TempWeight + num[i] * weight[i];//更新上一个砝码的最大重量i++;}/*统计总数量*/int count = 0;for (i = 0; i < 1000; i++) { if (flag[i] == 1) count++; }return count;}int main(){int n;cin >> n;int *w = new int[n];int *num = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++)cin >> w[i];for (int i = 0; i < n; i++)cin >> num[i];cout <<fama(n,w,num)<<endl;return 0;}

    总结动态规划的思路就是--总是试图从最简单的情况开始着手找出答案，利用最简单的情况的答案计算下一种情况的答案。存在一种规律使得f(n)=f(n-1)+x的模式，使我们可以利用循环体计算n种情况。