递归详解

博主大二在学习二叉树的时候，经常遇到递归相关的算法，一知半解、强行记忆。网上关于递归的文章不少，但是一般都是关于斐波拉切数列、数乘、汉诺塔等问题上，过于具体，直接给代码，缺少了思想，换个问题我就没法活学活用了。
网上看到篇文章，js递归实现阶乘，直接调用

n*f(n-1);

而没有

return n*f(n-1);

作者经历种种蛋疼终于找出问题得到答案时，怪罪js编译器，而没有发现自己递归理解不到位，生搬硬套代码，怨不得IDE。
博主很菜，但是不能接受自己太水，所以专门花心思把递归理解一番，在这里做个总结，和大家分享。
本文要感谢算法中的递归分析和分治法的原理、递归算法详解、Recursion and the Return Keyword和《编程之美》，书中的例子，让我对算法在实际中的应用有了更直观的理解。
本文分这么几个部分：

1. 什么是递归？
2. 递归解决什么样的问题？
3. 递归的调用流程是什么？

1.什么是递归

递归：在函数或子过程的内部，直接或间接地调用自己的算法。

递归算法解决问题的特点：

• 递归就是在过程或函数里调用自身。
• 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
• 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。
• 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储，递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

虽说从栈溢出和运行效率考虑，不提倡递归设计程序，但是由于递归程序代码清晰、简洁，值得我们好好学习。

2.递归解决的问题

递归算法所体现的“调用自己”的情况一般有三个要求：

1. 每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；
2. 相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；
3. 在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

在解决问题的规模上，每次要缩小，这和分治法的思想很像，分治法一般来说分为三个阶段：

1. 划分：把问题规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题，并尽量使这k个字问题规模相等。
2. 求解子问题，子问题经常与原问题解法相同
3. 把各个子问题的解合并起来

可见在原问题和子问题求解时，可以使用递归函数完成套路。我们常见的二分排序等都可以用递归函数解决。有时候，编写递归程序时确实难以获得更简单的子问题。 不过，使用归纳定义的数据集可以清楚划分出数据集。比如：树、链表等。
说了这么多，大家应该对递归多少有点概念了。具体的例子，比如数乘我这儿就不举例了。我想大家对递归迷茫的不是简单的使用，而是递归具体的执行流程是怎样的，这样在遇到具体问题的时候才清楚到底该如何调适bug、解决问题。

3.递归的调用流程

简单来说，递归函数的调用流程可以用下面这幅图表示，从主函数入口开始执行，嵌套调用子函数直至退出条件满足，从最里面一层的子函数不断向外返回。

举个例子：

public class Recursion{public static void main(String[] args){    up_and_down(1);//调用递归函数    return 0;}void static up_and_down(int n){    if (n < 4)    {        up_and_down(n + 1);    }}}

对这样一个极其简单的程序，我们看下它的调用过程，up_and_down(1)->up_and_down(2)->up_and_down(3)->up_and_down(4)，这时候n==4，不满足n<4的要求，压入栈的这四个函数从栈顶开始出栈返回。
但是我们平时使用递归显然不会这么简单，经常是执行回调函数的前后句都有代码，我们把这个例子再复杂一下。

public class Recursion{public static void main(String[] args){    up_and_down(1);//调用递归函数    return 0;}void static up_and_down(int n){    System.out.println("front: "+n);    if (n < 4)    {        up_and_down(n + 1);    }    System.out.println("end: "+n);}}

效果如图：

结合上面的流程图，明白了没？up_and_down(1)内部调用up_and_down(2)之前执行了

System.out.println(“front: “+n);//此时n==2

然后同理调用up_and_down(3)和up_and_down(4)。up_and_down(4)执行到

if (n < 4){
up_and_down(n + 1);
}

不符合继续递归的条件，up_and_down(4)执行

System.out.println(“end: “+n);//n==4

会开始返回up_and_down(3)，执行

System.out.println(“end: “+n);//n==3

依次类推，执行完

System.out.println(“end: “+n);//n==1

后，main函数退出，程序执行完毕。递归嵌套的过程如图所示：

注意，该图仅仅表示递归时子函数和父函数的嵌套执行关系，实际存储是栈的形式保存了每一次递归的函数。
递归函数自己一层层地往深处调用自己，然后一层层返回，每到一层，就执行接下来的语句（故调用开始的地址和返回的地址一样），每一级递归都是用自己的局部变量。这样子，函数逐步往深调用然后逐步返回直到main函数。
说完递归函数具体的嵌套逻辑，再说下开篇的时候提到的return的问题。自己写过递归的同学可能多少有这样的感觉：有的时候return recursion();有的时候直接recursion();这两种有什么区别呢？或者说什么时候return，什么时候不return呢？比如上文给的例子就没有return，但是在阶乘的时候，代码一般是这样的：

int f(int n){    if(n==1){        return 1;    }else{        return n*f(n-1);    }}

return在递归函数中起什么样的作用呢？不管是否在递归函数中，return 的作用都是从当前函数中退出，并将响应的结果赋值给某变量（如果有的话）。我们先分析阶乘：n!=n*(n-1)!，n>1；1!==1，用函数f(n)表示n!的话，可以表达为：f(n)=n*f(n-1)，n>1；f(1)=1。也就是说，要求(n)，可以由f(n-1)得到，于是我去计算f(n-1)，同理递推求到f(1)，只要知道f(1)，就可以一路计算到f(n)。而return的作用就很明显了，把f(n-1)的值返回给f(n)=f(n-1)*n使用。还记得我们说分治法的第三步吗？合并子问题的解，return就可以理解成合并子问题的解。如果还不明白，我们换个写法来看。

int f(int n){    if(n==1){        return 1;    }else{        int result=f(n-1)*n;        return result;    }}

还记得我们上文分析的递归嵌套结构图吗？

int result=f(n-1)*n;// *n操作也是在返回的时候开始执行，从1开始返回，然后 *2，结果存放到result
return result;//返回result给父函数，当前递归函数退出。

结合图大家能否构思出来从f(4)开始的执行流程呢？想必很简单，博主就不画了。
分析了递归的嵌套以及return的作用，可能觉得举的例子太简单了，不清楚自己到底理解了没，我们换个二叉树的例子，带大家理一遍。
二叉树的中序遍历，递归的实现只有四行核心代码，我们就分析这个。其他的例子代码偏长，相信有中序做例子，大家能自己看懂。

void inOrder(BiTree bt){    if(bt!=NULL){        inOrder(bt->lchild);        cout<<bt->data<<endl;        inOrder(bt->rchild);    }}

中序遍历就是先访问左子树，再访问跟根节点，最后访问右子树。左、右子树的访问顺序同上，明显的递归，可能从设计上我们能理解这个写法，但是我们知道为什么这么写就可以保证每颗子树先访问左，再访问根，最后访问右呢？
我们借助一个简单的二叉树分析：

先访问1，不为空，递归1的左孩子2，不为空，递归2的左孩子4，不为空，递归4的左孩子，为空，回退，执行cout 4，4的右孩子为空，回退，4回退到2，执行cout 2，2的右孩子为5，5的左孩子为空，回退，执行cout 5，右孩子为空，回退，结点5回退，结点2回退到1，1的右孩子3，左孩子为空，回退，执行cout 3，3的右孩子空，回退，3回退到1，递归函数退出。

这么一分析，大家能体会到上述三行代码的含义了吗？递归左子树，返回的时候输出根结点，再递归右子树，返回的条件是结点为空。每一次递归函数完成的都是对一个结点的左子树、自身、右子树的完整访问。对于二叉树这种由递归定义出来的数据结构，几乎都可以用递归实现处理。
分享下《编程之美》作者总结的递归问题三体会：

1. 先弄清楚递归的顺序，递归的实现中往往要假设后续的调用已经完成。（比如说，中序的时候就是假设子树的中序遍历已经完成，后面就可以进行子树的根结点的遍历）
2. 分析清楚递归体的逻辑，然后写出来。（比如说，中序的时候逻辑就是左子树访问完了之后，结点输出，再访问右子树）
3. 考虑清楚递归退出的条件。（可借助return或者条件判断）

总结

说了这么多，大家对递归的流程应该有了进一步的了解，分享一个链接http://stackoverflow.com/questions/2247063/need-help-in-returning-from-a-recursive-method，借助这道题，再让自己练练手吧。
很惭愧，做了一点微小的贡献！